¿Cómo se hace una ecuación de segundo grado?

Una ecuación de segundo grado completa es ax²+bx+c=0 con a ≠ 0, donde a es el coeficiente cuadrático, b el coeficiente lineal y c el término independiente.

Si alguno de los coeficientes b o c es cero la ecuación es incompleta.

ECUACIONES DEL TIPO ax²+bx=0

En este caso c=0; para resolverla sacamos factor común x: x(ax+b) = 0

La suma se ha transformado en un producto y para que un producto sea 0 uno de los factores tiene que ser 0 y, por tanto

x=0

o

ax + b = 0

y despejando:

x = 0

o son dos

x = -b/a

soluciones reales distintas.

ECUACIONES DEL TIPO ax²+c=0

En ellas b=0, despejando x²: x² = -c/a

Si c y a son del mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) -c/a será negativo y es imposible que sea igual al cuadrado de un número real, que siempre es cero o positivo. No hay solución.

Si c y a son de distinto signo (uno positivo y otro negativo) -c/a será positivo y tendrá dos soluciones opuestas, que se obtienen extrayendo la raíz cuadrada en los dos miembros:

|x| = Ѵ-c/a y, por tanto, x = Ѵ-c/a y x = - Ѵ-c/a

Ejemplo: 6x²+24 = 0 No tiene solución.

6x²-24 = 0, despejando x²=4 y |x| = 2 de donde obtenemos x=2 y x=-2

Dos soluciones reales distintas.

ECUACIONES DEL TIPO ax²=0

En ellas b=c=0 y como a≠0, es evidente x²=0 y, por tanto, x=0 doble (por estar elevada al cuadrado).

ECUACIONES DEL TIPO ax²+bx+c=0

Vamos a desarrollarlo con un ejemplo, siguiendo los pasos de los griegos.

Resolvamos la ecuación x²+8x-20=0

Restamos 20 a los dos miembros: x² es el área del cuadrado de lado x y el segundo sumando, 8x, el área de un rectángulo de lados x y 8.

El rectángulo se descompone en dos rectángulos iguales de lados x y 4 y se traslada uno de ellos como se indica en la figura.

Añadiendo el cuadrado de área 16 que falta tendríamos un cuadrado perfecto de lado x+4: por tanto, sumando 16 a los dos miembros de la ecuación x²+8x+16=20+16, el primer miembro es el cuadrado perfecto (x+4)²=36

Extrayendo la raíz cuadrada en los dos miembros |x+4| =6 de donde

x+4 = 6

x+4 = -6

y

x = 2

x = -10

La solución x = -10 no tiene sentido en geometría, pero sí es la solución de la ecuación dada.

Realizando estos mismos pasos con la ecuación ax²+bx+c=0 llegaríamos a obtener la solución x = (-b±Ѵb² - 4ac)/2a. El radicando b²-4ac recibe el nombre de discriminante y se representa con la letra ∆= b² - 4ac

Si ∆>0 la ecuación ax²+bx+c=0 tiene dos soluciones reales distintas:

X1 = (-b + Ѵ∆)/2a

X2 = (-bx - Ѵ∆)/2a

Si ∆=0 la ecuación ax²+bx+c = 0 tiene una solución x = -b/2a doble

Si ∆<0 la ecuación ax²+bx+c=0 no tiene soluciones reales

EJEMPLO

La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 13 cm. Averiguar los catetos sabiendo que la diferencia entre sus longitudes es 7 cm.

1. Si el cateto mayor mide x cm el menor medirá x-7 y por el teorema de Pitágoras 13² = x²+(x-7)². Si operamos 169 = x²+x²+49-14x

2. Restando 169 en los dos miembros y operando: 2x²-14x-120=0

3. Dividimos los dos miembros entre 2 y simplificamos: x²-7x-60=0

4. Por tanto, a=1, b=7, c=60, con lo que ∆=(-7)² -4(1)(-60)=289>0 existiendo dos soluciones

X1 = (7+17) /2 = 12 y x2 = (7-17) /2 = -5. Esta última solución no es válida y los catetos serán 12 y 5