¿Qué representan las 6 soluciones de la ecuación de tercer grado?

¿Qué representan las 6 soluciones de la ecuación de tercer grado?

¿Desde cuándo tienen 6 soluciones las ecuaciones de tercer grado?

Por dar un solo ejemplo, la ecuación de tercer grado:

(x-1)(x-2)(x-3)=0 tiene las raíces 1,2,3.

Si tiene alguna más, todo lo que hemos estudiado en matemáticas ha sido una pérdida de tiempo.

REEDICIÓN DE MI RESPUESTA

Habiendo comprobado que la duda a que se refiere quien plantea la pregunta surge de la resolución del sistema auxiliar de dos ecuaciones simétricas, de tercero y segundo grado, respectivamente, con dos incógnitas, que suele emplearse en la deducción de la fórmula de Cardano, para la resolución algebraica de las ecuaciones cúbicas reducidas (incompletas, sin término en x²), paso a aclarar el malentendido que es muy común, por la manera retorcida y dada a confusión en que muchas veces se expone la deducción de la fórmula de Cardano. Y precisamente este vídeo que aporta quien planteó la pregunta incurre en esa mala exposición; básicamente correcta, sí, pero muy poco clara:

Como es sabido, la resolución de cualquier ecuación de tercer grado con coeficientes complejos (esto incluye el caso en que sean reales) ax³+bx²+cx+d=0 (1), con a ≠ 0, se puede reducir a la resolución de otra ecuación cúbica incompleta, sin segundo término, es decir, sin x², del tipo x³+px+q=0.

De hecho, si z=3ax+b, p = 9ac-3b², q = 2b³-9abc+27a²d, la ecuación cúbica general (1) se reduce a la incompleta equivalente: z³+pz+q=0; si se resuelve esta ecuación, la primera tiene la solución x=(-b+z)/3a, para cada solución z de la ecuación reducida. Por tanto, resolver la ecuación cúbica reducida es la clave para la resolución de todas las ecuaciones cúbicas (con coeficientes complejos).

Consideremos por tanto la ecuación x³+px+q=0 (&).

Y supongamos p y q distintos de cero, porque si uno de ellos o los dos son nulos, la ecuación es muy sencilla de resolver; por ejemplo, x³+q=0 → x=³√-q, incluyendo los tres valores posibles de la raíz cúbica entre los números complejos. Si tuviéramos x³+px=0 → x(x²+p)=0 → x₁ = 0, x₂ = +√-p, x₃= -√-p, donde tomamos +√z como el valor de la raíz cuadrada de z con parte real positiva, o si es cero, con la parte imaginaria positiva, y si también ambas son cero, tomamos, por convenio, +√ 0=0.

Y finalmente, si la ecuación es x³=0 → x*x*x = 0, de modo que hay una raíz triple igual a cero, x=0.

Demostraremos que siempre tiene tres soluciones, que pueden ser simples o una doble y una simple o una raíz triple, según los valores de p y q, y lo mismo ocurrirá con la ecuación cúbica general (1), que siempre tendrá justamente tres raíces, que pueden ser tres simples, o una simple y una doble o una sola triple.

Para obtener la fórmula de Cardano (en realidad la descubrieron antes, independientemente, Dal Ferro y Tartaglia) es usual emplear el procedimiento de Hudde, por su brevedad, que sustituye x=u+v. Busquemos, como se explica en el vídeo mencionado, una ecuación de tercer grado reducida (sin término en x²) cuya solución conozcamos. Consideremos, pues, el cubo del binomio u+v:

(u+v)³=u³+3u²v+3uv²+v³ ; pero 3u²v+3uv² = 3uv(u+v) →

(u+v)³=u³+v³+3uv(u+v) → (u+v)³-3uv(u+v)-(u³+v³)=0 (I), y esta igualdad es una identidad, es decir, es cierta sean cuales sean los valores (reales o complejos) de u, v. Si ahora sustituimos x=u+v, obtenemos una ecuación cúbica reducida:

x³-3uvx-(u³+v³)=0 (&&).

Al menos conocemos una solución de esta ecuación cúbica: x=u+v. Podemos sustituir este valor de x en (&&) para convencernos, y obtendremos (I), es decir, (u+v)³-3uv(u+v)-(u³+v³)=0, de modo que, efectivamente, x=u+v es una solución de (&&). Pero lo que no hace el vídeo, ni muchos libros de texto, es resolver completamente la ecuación anterior; y ahí dejan cabos sueltos que dan lugar a dudas en los estudiantes que abordan este tema por primera vez.

El vídeo sigue así: para que (&) y (&&) sean la misma ecuación, basta encontrar u y v de manera que -3uv=p // -(u³+v³)=q. Si calculamos u y v de modo que se verifique este sistema, entonces x³+px+q=0 será exactamente la misma ecuación que x³-3uvx-(u³+v³)=0 y entonces una solución de la ecuación cúbica (&) será x=u+v, como sabemos.

¡ATENCIÓN! : Todo esto es correcto, pero está muy mal explicado y crea problemas donde no los hay. Después veremos cómo se evita todo este embrollo, pero sigamos con lo que hace el vídeo:

Ahora el sistema es u³+v³=-q // uv=-p/3. Para resolver este sistema podemos despejar fácilmente, por ejemplo, u en la segunda y sustituir en la primera:

u=-p/(3v) → [-p/(3v)]³+v³=-q → -p³/27v³+v³=-q → todo por v³ para suprimir denominadores:

v⁶+qv³-p³/27=0. Esta ecuación trinomia es bicúbica, es decir, es una ecuación, resolvente de la cúbica, de segundo grado en v³, por tanto, resolviéndola como cuadrática, tenemos:

v³=-q/2±√ [ (q/2)²+(p/3)³ ] → luego ahí nos aparecen los famosos seis valores que despistan a quien plantea la pregunta presente. Puesto que puede ser

v³=-q/2+√ [ (q/2)²+(p/3)³ ] → v = ³√ {-q/2+√ [ (q/2)²+(p/3)³ ]} con los tres valores posibles para la raíz cúbica, que, si R₁ es uno cualquiera de esos valores del radical, sabemos que son:

R₁, R₁ω y R₁ω², donde ω y ω² son las dos raíces cúbicas imaginarias de la unidad,

ω=-1/2+i*√3/2, ω²=-1/2-i*√3/2;

o bien, puede ser también:

v³=-q/2-√ [ (q/2)²+(p/3)³ ] → v = ³√ {-q/2-√ [ (q/2)²+(p/3)³ ]} y si R₂ es uno de los valores del radical cúbico, aparecen los otros tres valores admisibles para v, que serán R₂, R₂ω y R₂ω².

Pero R₁³ R₂³ = {-q/2+√ [ (q/2)²+(p/3)³ } {-q/2-√ [ (q/2)²+(p/3)³ ]}=-(p/3)³.

De manera que (R₁ R₂)³=-(p/3)³ → solo puede ser o bien

R₁ R₂ = -p/3, o R₁ R₂ = (-p/3) ω, o por último, R₁ R₂ = (-p/3) ω².

Si ocurre lo primero, tendremos que para el valor concreto de la raíz cúbica de -q/2+√ [ (q/2)²+(p/3)³] que hemos designado por R₁, existe otro valor concreto de la raíz cúbica de

-q/2-√ [ (q/2)²+(p/3)³, que es R₂, de modo que el producto de ambos radicales cúbicos es -p/3.

Si sucede el segundo caso, que R₁ R₂ = (-p/3) ω, entonces R₁ (R₂ω²)=-p/3, y si sucede el tercer caso, que R₁ R₂ = (-p/3) ω² → R₁ (R₂ω)=-p/3.

De modo que al valor arbitrario R₁ del radical cúbico

³√{-q/2+√ [ (q/2)²+(p/3)³]} corresponde siempre, y en todo caso posible, un valor determinado del radical cúbico ³√{-q/2-√ [ (q/2)²+(p/3)³]} tal que el producto de ambos radicales cúbicos es -p/3.

A partir de ahora, llamemos R₂ a ese valor del radical ³√{-q/2-√ [ (q/2)²+(p/3)³]} asociado a R₁ con la propiedad de que R₁ R₂ = (-p/3).

De hecho, es R₂ = -p/(3R₁).

Sin embargo, como u = -p/3v, podemos tomar para u los valores siguientes:

si v₁ = R₁ → u₁ = -p/(3R₁) = (-p/3) / R₁ = R₂;

si v₂= ωR₁ → u₂ = -p/(3R₁ω) = (-p/3) / (R₁ω) = ω² (-p/3) / R₁ = [RECORDEMOS QUE ω³=1] = ω²R₂ ;

si v₃ = ω² R₁ → u₃ = -p/(3R₁ω²) = (-p/3) / (R₁ω²) = ω (-p/3) / R₁ = ωR₂ ;

si v₄ = R₂ → u₄ = -p/(3R₂) = R₁ ;

si v₅ = R₂ω → u₄ = -p/(3R₂ω) = ω² R₁ ;

si v₆ = R₂ω² → u₄ = -p/(3R₂ω²) = ω R₁ ;

Así que sustituyendo para hallar x = u+v, tendremos ¡ SOLO APARENTEMENTE! seis posibilidades válidas:

x₁=u₁+v₁; x₂=u₂+v₂; x₃=u₃+v₃; x₄=u₄+v₄; x₅ =u₅ +v₅ ; x₆=u₆+v₆; pero estos valores son, pues:

x₁=R₁+R₂; x₂=ωR₁+ω²R₂ ; x₃= ω²R₁+ωR₂ ;

x₄=R₂+R₁; x₅ = ωR₂+ω²R₁; x₆ = ω²R₂+ωR₁ ;

Evidentemente, los valores de x₄, x₅, x₆ son los mismos, respectivamente, que x₁, x₃, x₂.

Las razones profundas de esta simetría se comprenden en la teoría de Galois o en el trabajo anterior de Lagrange, especialmente en su gran obra Réflexions sur la résolution algébrique des équations, en la que expone el hoy llamado método de Lagrange para la resolución algebraica de las ecuaciones de tercero y cuarto grado y que sirve en realidad para resolver algebraicamente todas las ecuaciones que sean resolubles por radicales, como demostró Galois posteriormente; pero ni siquiera es necesario apelar a todo eso para intuir elementalmente la razón más evidente de esa simetría: puesto que u y v entran simétricamente en el sistema u³+v³=-q // uv=-p/3, o sea, se pueden intercambiar sin que el sistema sufra alteración, es completamente lógico que podamos intercambiar los papeles de u y v, y así obtenemos cada una de las tres raíces de la ecuación cúbica x³+px+q=0 dos veces: como u+v y como v+u; como ωu+ω²v y como ω²v+ωu; y finalmente, como ω²u+ωv o como ωv+ω²u.

Sin embargo, habría que probar, sin que sea difícil, pero tampoco trivial, que:

toda solución de la cúbica se puede obtener de ese modo. Porque inicialmente parecía que íbamos a calcular una sola solución de la cúbica reducida (&).

OBSERVACIÓN: Esta es la explicación de todo lo que falta en el vídeo y en muchos textos que están explicados de manera muy insatisfactoria y retorcida, puesto que dejan cabos sueltos. No es la explicación que yo daría. Sigue teniendo, a pesar de todo, puntos oscuros que se pueden explicar con un largo rodeo, pero no vale la pena. La deducción directa y sin ambigüedad ni peligro de confusión es ésta otra:

DEDUCCIÓN DIRECTA DE LA FÓRMULA DE CARDANO

(también llamada fórmula "cúbica").

Hemos llegado (véase el principio) a la conclusión de que la ecuación

x³-3uvx-(u³+v³)=0 tiene como una de sus raíces, x=u+v. En principio es mucho, porque eso indica que esa cúbica reducida concreta siempre tiene al menos una solución y conocemos el valor de una de esas soluciones.

Pues bien, calculemos las demás. Dividiendo el polinomio x³-3uvx-(u³+v³) entre x-(u+v) la división debe ser exacta, por el teorema del Resto, y la Regla de Ruffini nos da:

x³-3uvx-(u³+v³) ≡ [x-(u+v)]* [x²+(u+v) x + (u²-uv+v²)]; pero el trinomio cuadrático x²+(u+v) x + (u²-uv+v²) siempre se puede factorizar mediante la fórmula cuadrática, y sabemos que la ecuación que da sus dos raíces es:

x²+(u+v) x + (u²-uv+v²) = 0 → x ={ -(u+v) ± √ [(u+v)²-4(u²-uv+v²)]}/2 →

x=-(u+v)/2 ± (1/2) √ [(-3)(u-v)²] → luego llamando a estas dos raíces x₂, x₃:

x₂ = u*(-1/2 + i*√3/2)+v(-1/2 - i*√3/2) = uω+vω² ;

siendo, como se sabe, ω=-1/2 + i*√3/2, y ω²=-1/2 - i*√3/2.

y análogamente, x₃= uω²+vω. En conclusión, se tiene la identidad:

x³-3uvx-(u³+v³) ≡ [x-(u+v)] * [x-(uω+vω²)] * [x-(uω²+vω)].

De modo que la ecuación cúbica reducida x³-3uvx-(u³+v³)=0, independientemente de los valores de u y de v, siempre tiene exactamente tres raíces: x₁=u+v; x₂=uω+vω²; x₃=uω²+vω;

Es sencillo demostrar que siempre que u³≠v³, o lo que es equivalente, siempre que sea u≠v, u≠vω, u≠vω², las tres raíces son distintas y viceversa, si lo son entonces u³≠v³.

Ahora sí, obtenemos la resolución algebraica de la ecuación cúbica reducida (&):

x³+px+q=0 será inmediata si encontramos un valor de u y un valor de v que satisfagan el sistema resolvente:

-3uv=p // -(u³+v³)=q; o el sistema equivalente: u³+v³=-q // uv=-p/3.

Pero ahora solo necesitamos una única solución y no hace falta enredarse con las seis soluciones de este sistema. Elevando al cubo la segunda tenemos:

u³+v³=-q // u³v³=-(p/3)³ (Sistema $) → u³ y v³ pueden determinarse conociendo su suma y su producto mediante la cuadrática: t²-Suma * t + Producto = 0; →

t²+qt-(p/3)³=0 → u³ es una raíz y v³ es la otra, o viceversa. Solo nos interesa una solución del sistema auxiliar en u, v. Por tanto, podemos tomar, por ejemplo,

u³ = -q/2+√ [ (q/2)²+(p/3)³]

v³= -q/2-√ [ (q/2)²+(p/3)³]. Sin embargo la elevación al cubo en una de las ecuaciones del sistema auxiliar puede introducir soluciones extrañas, puesto que en general A=B → A³=B³ pero no recíprocamente. Debemos asegurarnos directamente, pues, de que se cumple uv=-p/3.

Sea R₁ = un valor cualquiera, pero fijo, del radical ³√{-q/2+√ [ (q/2)²+(p/3)³]}.

Los otros valores serán, como se ha visto, ωR₁ y ω²R₁.

Como hemos demostrado antes, existe un valor del segundo radical cúbico,

³√{-q/2-√ [ (q/2)²+(p/3)³]}, llamémoslo R₂, tal que R₁*R₂ =-p/3. Si queremos saber cuál es, evidentemnte será R₂ = -(p/3)/R₁ = -p/(3R₁).

De modo que si elegimos el par de valores solución del sistema auxiliar:

u=R₁ // v=R₂, mediante comprobación directa, tenemos:

u³⁺v³ = -q/2+√ [ (q/2)²+(p/3)³] -q/2-√ [ (q/2)²+(p/3)³] = -q, por tanto se cumple la primera ecuación; y análogamente, sustituyendo en la segunda del sistema:

u*v = R₁ * R₂ = -p/3; así pues, con estos valores de u y v tenemos que la ecuación cúbica dada, x³+px+q=0 es idéntica a x³-3uvx-(u³+v³)=0, luego tiene siempre tres soluciones que son:

x₁=u+v; x₂=uω+vω²; x₃=uω²+vω, es decir, sustituyendo u y v por sus valores asignados:

x₁=R₁ + R₂; x₂=ω R₁ +ω² R₂; x₃=ω² R₁ +ω R₂; siendo R₁, R₂ respectivamente valores de los radicales cúbicos,³√{-q/2+√ [ (q/2)²+(p/3)³]} y ³√{-q/2-√ [ (q/2)²+(p/3)³]} con la condición de que cumplan R₁*R₂ =-p/3.

Éstas son las fórmulas de Cardano que se suelen escribir en una sola:

x = ³√{-q/2+√ [ (q/2)²+(p/3)³]} + ³√{-q/2-√ [ (q/2)²+(p/3)³]},

con la condición de elegir siempre los valores de los radicales cúbicos de modo que su producto sea -p/3. (Las determinaciones de los signos en la raíz cuadrada

√ [ (q/2)²+(p/3)³ deben ser las mismas en ambos radicandos, y en uno se toma con el signo + y en el otro con el signo -).

CONCLUSIÓN: La ecuación de tercer grado tiene siempre tres raíces, y pueden expresarse por medio de expresiones radicales finitas y operaciones racionales sobre los coeficientes.

Cuando son p y q reales, ambos distintos de cero, es sencillo, a partir de aquí, y se encuentra en todos los textos, probar que:

1. Si (q/2)²+(p/3)³ > 0 → hay una raíz real y dos imaginarias conjugadas.
2. Si (q/2)²+(p/3)³ = 0 → hay una raíz real doble y otra real simple. Es sencillo expresarlas racionalmente; la doble es 3q/2p y la simple es -3q/p.
3. Si (q/2)²+(p/3)³ < 0 → hay tres raíces reales distintas; es el llamado CASO IRREDUCTIBLE, porque las tres raíces reales de la ecuación con todos los coeficientes reales solo pueden expresarse algebraicamente mediante radicales cúbicos de números imaginarios conjugados; y si se trata de encontrar algebraicamente el valor de estos radicales imaginarios se llega de nuevo a la misma o equivalente ecuación inicial, que vuelve a caer en el CASO IRREDUCTIBLE, y así indefinidamente: es un círculo vicioso.

Afortunadamente, en este caso "problemático" -para el álgebra clásica- hay una expresión trigonométrica de las raíces que es fácilmente computable con calculadoras o las viejas tablas trigonométricas, sin mencionar, naturalmente, los modernos programas de cálculo de los ordenadores actuales.

QUEDA RESUELTO POR TANTO EL APARENTE "MISTERIO" DE LAS APARENTES SEIS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN CÚBICA.