¿Cómo utilizar el método de Cardano para resolver ecualciones de tercer grado?

Con una calculadora científica corriente, la fórmula de Cardano conduce a cálculos numéricos muy accesibles hoy día.

Todavía pueden encontrarse, en muchos textos relativamente antiguos, invectivas muy duras contra la fórmula de Cardano, en el sentido de que es "prácticamente" inaplicable por los prolijos cálculos que exige. No era para tanto, pero sí que había, hace muchos años, dos inconvenientes serios, a parte del tiempo de cálculo:

1) El control del error cometido al utilizar las tablas logarítmicas y trigonométricas, y su acotación efectiva. Si eran tablas con 5 o 6 decimales, no proporcionaban suficiente precisión, en muchos casos, en el cálculo de las tres raíces de la ecuación de tercer grado, en su forma reducida [ x³+px+q=0 ].

Si se empleaban tablas de diez decimales, como las Grandes Tablas del Catastro (publicadas en Francia a principios del siglo XIX, como herramienta fundamental de máxima precisión para ingenieros, militares, marinos, astrónomos, cartógrafos, físicos, químicos…) el cálculo era tediosamente largo, lo cual no solo era un fastidio, sino algo peor: un riesgo alto de cometer errores.

2) La complicación notable que aparecía en el caso irreductible de la ecuación cúbica x³+px+q=0, cuando p y q son reales, y Δ = 4p³+27q²<0.

Hay exactamente tres raíces reales distintas, los coeficientes también son reales pero, sin embargo, la fórmula de Cardano, asombrosamente, contiene de manera esencial raíces cúbicas de números imaginarios. Si se trata de calcular exactamente estas raíces cúbicas, mediante un sistema de ecuaciones, igualando partes reales e imaginarias en (x+yi)³= a+bi, se llega de nuevo a una ecuación idéntica a la original. Y recíprocamente, si se quería calcular la raíz cúbica de un número imaginario se llegaba a una ecuación cúbica en el caso irreductible, que requería calcular la raíz cúbica inicial, un círculo vicioso; Leibniz veía en esto un designio de la Providencia…

Pero algo que no se subraya a menudo es que la fórmula de Cardano (1501–1576) fue históricamente la "fábrica" de los números complejos: en el caso irreductible, la fórmula de Cardano fue el primer ejemplo de necesidad "real" de operar con números "imaginarios" (valgan los respectivos juegos de palabras en uno y otro sentido…).

Es decir, antes de los algebristas italianos del siglo XVI, nadie estaba realmente interesado, de pronto, en calcular la raíz cuadrada de un número negativo, no había una necesidad especial para pensar en esa clase de "operación". Bastaba decir que, por ejemplo, x²=-4 no tenía solución y ya estaba cerrado el caso.

Fue Bombelli (1526–1573) uno de los primeros o, según las publicaciones que han llegado a nosotros, el primero, en observar la ecuación x³=15x+4, hoy día escrita con todos los términos en el primer miembro:

x³-15x-4=0, una ecuación "preparada" para conocer de antemano una solución real, x=4, a pesar de tener positivo su discriminante, -Δ = -4p³-27q²>0, es decir,

Δ= 4p³+27q²<0, la condición de realidad de las tres raíces distintas; y suprimiendo ésta por división entre x-4, se obtenía (Regla de Ruffini):

x²+4x+1=0 → x=-2±√3.

Pero la fórmula de Cardano para la ecuación cúbica reducida x³+px+q=0 es:

x= ³√[-q/2 + √(q²/4 + p³/27)] + ³√[-q/2 - √(q²/4 + p³/27)] asociando a cada valor del primer radical uno de los valores del segundo de modo que el producto de ambos radicales cúbicos sea -p/3.

El radicando del radical cuadrático es Δ/108, y cuando es Δ=0 las tres raíces también son reales, solo que una de ellas es doble y la otra simple, si p y q son distintos de cero, y hay una sola raíz triple igual a cero cuando p=q=0. Evidentemente, no puede ser uno solo de p y q igual a cero en 4p³+27q²=0.

Así que en el caso de x³-15x-4=0 la fórmula de Cardano daba:

x= ³√ [2 + √ (-121) ] + ³√ [2 - √ (-121) ] ;

Bombelli observó -con osadía- que si concedemos algún sentido "provisional" y simbólico

a √ -1, llamándolo de algún modo, digamos i (aunque él empleaba otras notaciones) y operamos, resulta:

2 + √ (-121) = 2+11i; puesto que (11i)²=121*i²=-121. "Cálculo" sin sentido alguno, en aquella época, y realizado solo empleando reglas formales de las "cantidades reales", y forzándolas, porque estamos aplicándolas a números "imposibles", "imaginarios", "anfibios entre el ser y el no ser…".

(2+i)³= 8+ i³ +12i+6i² = 8 + i²*i + 12i +6i² ; sea lo que sea i, es claro que deberíamos tener i²=-1, pues i suponemos que es una "raíz cuadrada de -1", aunque eso no tenga sentido por ahora: → (2+i)³=8–i+12i-6=2+11i, así que podemos tomar:

³√ [2 + √ (-121) ] = 2 + √ -1, o bien, 2+i. Del mismo modo vemos que

(2-i)³ = (2-√ -1)³=2 - √ (-121) = 2–11i. Podemos tomar entonces

³√ [2 - √ (-121) ] = 2-√ -1.

Y para que la fórmula de Cardano funcione, los dos radicales cúbicos multiplicados deben dar un producto real = -p/3, luego -concluye Bombelli- :

x₁ = ³√ [2 + √ (-121) ] + ³√ [2 - √ (-121) ] = (2 + √ -1)+(2- √ -1)=4 (!!). Una raíz real y verdadera, obtenida pasando previamente por el sombrío averno del NO SER, y regresando al mundo de lo "existente".

¡La regla de Cardano era válida, pues, incluso en el caso irreductible!

De hecho, cuando se aclaró el asunto de los números imaginarios y se les concedió al fin el derecho de ciudadanía, y se probó rigurosamente que la unidad tiene n raíces n-ésimas complejas distintas para cada n€N, n>0, y que, en general, todo número complejo no nulo admite n raíces n-ésimas distintas, pudo verse entonces que la fórmula de Cardano es válida incluso aunque p y q sean números complejos cualesquiera -se incluye el caso en que uno o ambos sean reales-.

Una consecuencia inmediata es que toda ecuación de tercer grado de coeficientes complejos cualesquiera tiene exactamente tres raíces (iguales o distintas); el Teorema fundamental del Álgebra, en el caso particular de polinomios de grado 3, quedó así probado, gracias a la fórmula de Cardano, como también lo fue para las ecuaciones de cuarto grado mediante su resolución algebraica, mucho antes de que Gauss demostrara correctamente el Teorema fundamental del Álgebra en toda su generalidad, para polinomios de un grado cualquiera.

Teniendo en cuenta que la unidad positiva tiene, para su raíz cúbica, dos valores imaginarios, además del valor real 1, o sea,

ω = -1/2 + (√ -3)/2, ω² = -1/2 - (√ -3)/2, de modo que:

[-1/2 + (√ -3)/2]³ =1, [-1/2 - (√ -3)/2]³ =1

si en la ecuación de Bombelli tomamos otro valor de los radicales, por ejemplo:

³√ [2 + √ (-121) ] = (2+√ -1) ω = (-1+√3/2) + (1/2) (2√ 3 - 2) √ -1,

y análogamente,

³√ [ 2 - √ (-121) ] = (2 - √ -1) ω² = (-1 + √3/2) - (1/2) (2√ 3 - 2) √ -1, al sumar los radicales cúbicos "desaparecen" los "números imposibles", como decían entonces:

x₂ = ³√ [2 + √ (-121) ] + ³√ [ 2 - √ (-121) ] = (2+√ -1) ω + (2 - √ -1) ω² = (-1+√3/2) + (-1 + √3/2) = -2 + √3.

El mismo cálculo para x₃ , tomando la tercera elección para los radicales, da:

x₃ = ³√ [2 + √ (-121) ] + ³√ [ 2 - √ (-121) ] = (2+√ -1) ω² + (2 - √ -1) ω =

= (-1 - √3/2) + (-1/2 - √3) √ -1 + (-1 - √3/2) + (1/2 + √3) √ -1 = -2-√3,

siendo por tanto las tres raíces de la cúbica de Bombelli { 4, -2 + √3, -2-√3 }.

El problema es que muy pocas veces - ¡casi nunca! - era posible calcular exactamente la raíz cúbica de un número imaginario, salvo que se conociera de antemano ese valor o la raíz de la ecuación cúbica que conduce a él, como en el ejemplo de Bombelli.

APLICACIÓN PRÁCTICA DE LA FÓRMULA DE CARDANO

Lo más frecuente es que p y q sean reales. Sea R = Δ/108 = q²/4 + p³/27

CASO 1: R > 0.

Hay una raíz real simple y dos raíces imaginarias conjugadas.

x₁= ³√[-q/2 + √(q²/4 + p³/27)] + ³√[-q/2 - √(q²/4 + p³/27)]

x ₂ = ω* ³√[-q/2 + √(q²/4 + p³/27)] + ω²* ³√[-q/2 - √(q²/4 + p³/27)]

x₃ = = ω²* ³√[-q/2 + √(q²/4 + p³/27)] + ω* ³√[-q/2 - √(q²/4 + p³/27)] .

O bien, designando los radicales cúbicos como A y B, respectivamente,

siendo pues A = ³√[-q/2 + √(q²/4 + p³/27)], B = ³√[-q/2 - √(q²/4 + p³/27)],

la fórmula de Cardano, desdoblada para cada raíz, toma este aspecto:

x₁ = A+B

x ₂ = -(A+B)/2 + (A-B)/2 * √3 * i

x₃ = -(A+B)/2 - (A-B)/2 * √3 * i

Ejemplos: 1) x³-6x-12=0 →

p =-6, q = -12, R = q²/4+p³/27= (12/2)²-(6/3)³=36–8=28>0.

Hay tres raíces simples, una real y dos imaginarias conjugadas.

A = ³√[-q/2 + √(q²/4 + p³/27)] = ³√ (6+ √28)

B = ³√[-q/2 - √(q²/4 + p³/27)] = ³√ (6- √28)

x₁ = A+B = ³√ (6+ √28) + ³√ (6- √28) (EXPRESIÓN EXACTA)

≈ 2.243454399976+0.891482349729

x₁ ≈ 3.134936749705, es decir, con 10 decimales exactos,

x₁ ≈ 3.1349367497.

Todo el cálculo ha sido realizado en pocos segundos con una calculadora científica actual, aplicación del teléfono móvil, aunque sirve igualmente cualquiera de las "antiguas".

Las raíces imaginarias serán:

x ₂ = -(A+B)/2 + (A-B)/2 * √3 * i = -1.5674683749+1.1708421407 * i

x₃ = -(A+B)/2 - (A-B)/2 * √3 * i = -1.5674683749+1.1708421407 * i

Con todas las raíces redondeadas a 10 decimales, precisión muy suficiente para la inmensa mayoría de los cálculos "prácticos", con excepción de los cálculos astronómicos.

2) x³-12x+16=0 → R = q²/4+p³/27= (q/2)²+(p/3)³=8²-4³=64–64=0.

Hay tres raíces reales, pero una de ellas es doble, y la otra simple.

A = ³√[-q/2 + √(q²/4 + p³/27)] = ³√ (-8+ 0) = -2

B = ³√[-q/2 - √(q²/4 + p³/27)] = ³√ (-8–0) = -2. Como A=B, será A-B=0.

x₁ = A+B = -2 -2 =-4 (EXPRESIÓN EXACTA).

x ₂ = -(A+B)/2 + (A-B)/2 * √3 * i = -(A+B)/2 = 4/2=2

x₃ = -(A+B)/2 - (A-B)/2 * √3 * i = -(A+B)/2 =4/2=2.

Si la ecuación fuera x³=0 evidentemente tendríamos una raíz triple: x=0. Se vería directamente, pero incluso la fórmula de Cardano nos da los tres valores nulos.

Como se ve, la aplicación práctica de la fórmula de Cardano, empleando una calculadora científica corriente es muy accesible y cómoda; no merece esa fama de ser impracticable: algo que, tradicionalmente, han ido copiando unos autores de otros en los sucesivos textos, teniendo en ello cierta razón los antiguos, por la complicación de las tablas de logaritmos; pero desde luego ninguna razón asiste a los autores "modernos" para rechazar el valor práctico de la fórmula de Cardano desde que existieron calculadoras científicas (años 70 y algo antes aún) hasta el momento actual.

Veamos el histórico y "temible" Casus irreducibilis:

3) x³-36x-4=0 → p=-36, q=-4 → R=(-4/2)²+(-36/3)³=2²-12³=-1724.

Aquí la expresión algebraica de las raíces por medio de radicales es correcta, pero efectivamente, inútil para el cálculo práctico de sus valores reales.

Sin embargo, dada la ecuación cúbica reducida más general:

x³+px+q=0, se pueden calcular las tres raíces por medio de funciones trigonométricas, y hoy día sin tener que emplear las tablas trigonométricas ni logarítmicas. Las fórmulas pueden verse deducidas -con sencillez- en cualquier libro de texto o página de Internet. Se exponen a continuación.

Supongamos que φ representa un ángulo (medido en radianes, es decir, un número real abstracto) tal que:

cos φ = -q/[2√(-p³/27)] . Es obvio que p debe ser negativo, pues si fuera cero o positivo no podría ser R = Δ/108 = q²/4 + p³/27 < 0. Además, es fácil cerciorarse de que siempre es |-q/[2√(-p³/27)]| ≤ 1; si no fuera así, sería:

|-q/ [2√(-p³/27)] | > 1 → |-q| > |2√(-p³/27)| → q²>-4*p³/27 →

q²/4 + p³/27 >0 (!!) CONTRADICCIÓN.

De modo que siempre puede determinarse el ángulo φ (en el primero o segundo cuadrante) por medio de su coseno, cuando se da el caso irreductible.

Las tres raíces reales y distintas son:

x₁ = 2* [√(-p/3)] * cos (φ/3)

x ₂ = 2* [√(-p/3)] * cos [ (φ+2π)/3 ]

x₃ = 2* [√(-p/3)] * cos [ (φ+4π)/3 ].

En el caso presente, con p =-36, q =-4, sería cos φ = -q/ [2√(-p³/27)] =4/(2*12√12)=

= 2/(12√12)=1/(6√12) → cos φ = 0.048112522432 →

φ = 1.522665223070, de modo que:

x₁ = 2* [√(-p/3)] * cos (φ/3) = 2 √12 cos 1.522665223070 /3 = 6.05480244267; limitándonos a 10 decimales exactos,

x₁ ≈ 6.0548024427.

Otra raíz será:

x ₂ = 2* [√(-p/3)] * cos [ (φ+2π)/3 ] ≈ 2 √12 cos 2.601950176750≈

≈ -5.943653188358, o redondeando con diez decimales:

x ₂ ≈ -5.9436531884.

La tercera y última raíz será:

x₃ = 2* [√(-p/3)] * cos [ (φ+4π)/3 ] = 2*√12 cos 4.696345279143≈

≈ -0.111149254314, que redondeado a diez decimales da:

x₃ ≈ -0.1111492543.

Compruébese si en la práctica numérica es absolutamente inútil la fórmula de Cardano, o no lo es; y sobre todo, compárese con cualquier otra alternativa que no sea el software directo, claro está, como el de Wolfram Alpha o tantos otros programas que resuelven cualquier ecuación algebraica con un click.

En cierto sentido, es una lástima que no se explique esto en bachillerato o en el primer curso de las carreras científicas y técnicas; se explican otras cosas bastante menos útiles, pero la inercia en la enseñanza es uno de sus mayores enemigos.

Y todo esto se refiere al valor "práctico"; pero el valor teórico e histórico de la -mal llamada- fórmula de Cardano, es extraordinario. Aunque solo fuera porque hace comprender de verdad la necesidad de los números complejos, ya sería un punto a su favor para incluirse en el currículo. En muchas facultades tampoco se explica, y como resultado hay profesores de secundaria y aún de universidad que se han limitado a estudiar tan solo el programa que se les ha impartido en su temario y desconocen por completo la fórmula de Cardano…(!!).

La resolución algebraica de la ecuación cúbica completa

Si tenemos la ecuación completa:

ax³+bx²+cx+d=0, llamando

z= 3ax+b, p=9ac-3b², q=2b³ - 9abc+27a² d,

se llega a la ecuación cúbica reducida:

z³+pz+q=0; resuelta por la fórmula de Cardano o por cualquier otro método, se tiene:

x₁ = (-b+z₁)/3a

x₂ = (-b+z₂)/3a

x₃ = (-b+z₃)/3a

La deducción es muy sencilla, basta completar el cubo, análogamente a como se "completaba el cuadrado" en la ecuación cuadrática: se multiplican todos los términos por 27a² y sale:

27a³x³+27a²bx²+27a²cx+27a²d=0 → (3ax+b)³ - 9ab²x-b³ + 27a²cx+27a²d=0 →

(3ax+b)³ + (27a²c-9ab²) *3ax/3a -b³ + 27a²d = 0

(3ax+b)³ + (9ac-3b²) *(3ax+b) - b(9ac-3b²) -b³+27a²d=0

(3ax+b)³ + (9ac-3b²) *(3ax+b) +(2b³-9abc+27a²d) = 0, es decir,

z³+pz+q=0, como queríamos demostrar.

Ejemplo: x³-17x²-29x-455=0;

p=9ac-3b²=9*1*(-29)-3*17²=-1128

q=2b³-9abc+27a²d=2*(-17)³-9*1*(-29) + 27*1²*(-455)=-26548.

z³-1128 z -26548=0

R=(q/2)²+(p/3)³=123.041.700, de modo que por ser R>0 habrá una raíz real y dos raíces imaginarias conjugadas; si nos interesa solo la raíz real, por ejemplo, será:

x₁ = (-b+z₁)/3a →

x₁ = (1/3)* { 17 + ³√[13274+√123041700]+³√[13274-√123041700] }

(EXPRESIÓN EXACTA)

x₁ ≈ 19.65352259 (EXPRESIÓN DECIMAL APROXIMADA)

Análogamente se calcularían en pocos segundos las raíces imaginarias conjugadas.