¿Cómo se calculan los símbolos de Christoffel de primera especie, en un sistema de coordenadas ortogonal?

Recordar brevemente:

Algunas propiedades de un tensor métrico ortogonal. Un tensor métrico cualquiera es simétrico, lo cual significa: gik=gkigik=gki

En el caso de tensores métricos de sistemas de coordenadas ortogonales, se cumple que:

gik=gki=0gik=gki=0 , si i≠ki≠k

Y también: gikgkj=δijgikgkj=δji

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Las siguientes propiedades de los símbolos de Christoffel, se cumplen en un espacio ortogonal, es decir, en donde los elementos del tensor métrico gik=0gik=0 , cuando i≠ki≠k

Veamos los casos que se presentan en el cálculo de los símbolos de Chistoffel de primera especie.

1 Caso: Los tres índices iguales: (i=j=k=i)(i=j=k=i)

[ij,k]=[ii,i]=12(∂gii∂xi+∂gii∂xi−∂gii∂xi)[ij,k]=[ii,i]=12(∂gii∂xi+∂gii∂xi−∂gii∂xi)

[ii,i]=12∂gii∂xi[ii,i]=12∂gii∂xi

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2 Caso: Los dos primeros índices iguales (i=j≠k)(i=j≠k)

[ij,k]=[ii,k]=12(∂gik∂xi+∂gik∂xi−∂gii∂xk)[ij,k]=[ii,k]=12(∂gik∂xi+∂gik∂xi−∂gii∂xk)

[ii,k]=−12∂gii∂xk[ii,k]=−12∂gii∂xk

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3 Caso: El tercer índice es igual a cualquiera de los índices anteriores (i=k≠j)(i=k≠j)

[ij,k]=[ij,i]=12(∂gii∂xj+∂gji∂xi−∂gij∂xi)[ij,k]=[ij,i]=12(∂gii∂xj+∂gji∂xi−∂gij∂xi)

[ij,i]=[ji,i]=12∂gii∂xj[ij,i]=[ji,i]=12∂gii∂xj

4 Caso: Los tres índices son diferentes (i≠j≠i)(i≠j≠i)

Como se está analizando el caso de un sistema ortogonal, y en un sistema ortogonal se cumple que gik=0gik=0 para i≠ki≠k , entonces. Los símbolos de Chistoffel en este caso son iguales a cero.

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Ahora vamos a analizar los tres sistemas de coordenadas ortogonales mas usados:

I Sistema de coordenadas cartesianas:

En este sistema de coordenadas tridimensional cartesiano se tiene:

giigii no nulos son : 1,1,11,1,1

Y las coordenadas son:

xx , yy , zz.

Luego los símbolos de Chistoffel son:

[ii,i]=0[ii,i]=0

[ii,j]=0[ii,j]=0

[ij,i]=[j,i,j]=0[ij,i]=[j,i,j]=0

[ij,k]=0[ij,k]=0

En el sistema de coordenadas cartesiano tridimensional, todos los símbolos de Christofel de primera especie son iguales a cero.

II Sistema de coordenadas cilíndricas:

En este sistema de coordenadas cilíndrico tridimensional se tiene:

giigii no nulos son : 1,ρ2,11,ρ2,1

Y las coordenadas son: ρρ , ϕϕ , zz

Luego los símbolos de Chistoffel son:

1. Caso:

[11,1]=∂g11∂x1=0[22,2]=∂g22∂x2=0[33,3]=∂g33∂x3=0[11,1]=∂g11∂x1=0[22,2]=∂g22∂x2=0[33,3]=∂g33∂x3=0

2. Caso:

[11,2]=−12∂g11∂x2=0[11,3]=−12∂g11∂x3=0[22,3]=−12∂g22∂x3=0[11,2]=−12∂g11∂x2=0[11,3]=−12∂g11∂x3=0[22,3]=−12∂g22∂x3=0

[22,1]=−12∂ρ2∂ρ=−ρ[22,1]=−12∂ρ2∂ρ=−ρ

[33,1]=−12∂g33∂x1=0[33,2]=−12∂g33∂x2=0[33,1]=−12∂g33∂x1=0[33,2]=−12∂g33∂x2=0

Agrupando los 2 primeros casos, se forma una matriz con 9 elementos

⎡⎣⎢[11,1][22,1][33,1][11,2][22,2][33,2][11,3][22,3][33,3]⎤⎦⎥=⎡⎣⎢0−ρ0000000⎤⎦⎥[[11,1][11,2][11,3][22,1][22,2][22,3][33,1][33,2][33,3]]=[000−ρ00000]

3. Caso

[12,1]=[21,1]=12∂g11∂x2=0[12,1]=[21,1]=12∂g11∂x2=0

[13,1]=[31,1]=12∂g11∂x3=0[13,1]=[31,1]=12∂g11∂x3=0

[21,2]=[12,2]=12∂ρ2∂ρ=ρ[21,2]=[12,2]=12∂ρ2∂ρ=ρ

[23,2]=[32,2]=12∂ρ2∂z=0[23,2]=[32,2]=12∂ρ2∂z=0

[31,3]=[13,3]=12∂g33∂x1=0[31,3]=[13,3]=12∂g33∂x1=0

[32,3]=[23,3]=12∂g33∂x2=0[32,3]=[23,3]=12∂g33∂x2=0

Si los elementos del caso 1 y del caso 2, se agruparon en una matriz, entonces:

¿ Como se agrupan los elementos del caso 3 ?

La respuesta es que en realidad todos los 27 casos que se producen se pueden ordenar en un arreglo cúbico, pero por cuestiones didácticas se ha presentado los 9 primeros posibles arreglos ordenados en una matriz de 3 x 3.

Los dos primeros casos suman 9, mas estos 12 casos van 21 casos. Faltan los 6 casos que se producen, cuando los elementos que constituyen los símbolos de Chistoffel de primer orden son diferente entre si.

Los demás casos ( 6 casos )

[21,3]=0[21,3]=0

[31,2]=0[31,2]=0

[12,3]=0[12,3]=0

[32,1]=0[32,1]=0

[13,2]=0[13,2]=0

[23,1]=0[23,1]=0

Entonces ya obtuvimos los 27 arreglos diferentes de los símbolos de Christoffel, para un sistema de coordenadas cilíndricas

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Resumiendo: En el caso de un sistema de coordenadas cilíndricas, los únicos casos , en los que se obtiene valores no nulos para los símbolos de Christoffel, son los siguientes:

[22,1]=−12∂ρ2∂ρ=−ρ[22,1]=−12∂ρ2∂ρ=−ρ

[21,2]=[12,2]=12∂ρ2∂ρ=ρ[21,2]=[12,2]=12∂ρ2∂ρ=ρ

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III Sistema de coordenadas esféricas

En este sistema de coordenadas esféricas tridimensional se tiene:

giigii no nulos son : 1,r2,r2sen2θ1,r2,r2sen2θ

Y las coordenadas son: rr , θθ , ϕϕ.

Ya se obtuvo cada una de los 27 símbolos de Christoffel en coordenadas cartesianas y cilíndricas. Ahora se va a obtener los 27 símbolos de Christofenl en coordenadas esféricas. Pero primero necesitamos la forma que tienen estos símbolos en los 4 casos ya señalados:

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1. Caso: [ii,i]=12∂gii∂xi[ii,i]=12∂gii∂xi

Por lo que en coordenadas esféricas, en los tres casos, el valor de [ii,i]=0[ii,i]=0

[11,1]=∂g11∂x1=0[11,1]=∂g11∂x1=0

[22,2]=∂g22∂x2=0[22,2]=∂g22∂x2=0

[33,3]=∂g33∂x3=0[33,3]=∂g33∂x3=0

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2. Caso : [ii,k]=−12∂gii∂xk[ii,k]=−12∂gii∂xk

En coordenadas esféricas, hay 6 casos para el valor de [ii,k]=?[ii,k]=?

Los primeros 3 casos de este grupo son cero. [ii,k]=0[ii,k]=0

[11,2]=−12∂g11∂x2=0[11,2]=−12∂g11∂x2=0 , [11,3]=−12∂g11∂x3=0[11,3]=−12∂g11∂x3=0

[22,3]=−12∂g22∂x3=0[22,3]=−12∂g22∂x3=0

Se tiene valores no nulos en los tres siguientes casos:

[22,1]=−12∂r2∂r=−r[22,1]=−12∂r2∂r=−r

[33,1]=−12∂(r2sen2θ)∂r=−rsen2θ[33,1]=−12∂(r2sen2θ)∂r=−rsen2θ ,

[33,2]=−12∂(r2sen2θ)∂θ=−12r2sen(2θ)[33,2]=−12∂(r2sen2θ)∂θ=−12r2sen(2θ)

Ordenando los resultados obtenidos del caso 1 y el caso 2, podemos ordenarlo en un arreglo matricial: Eso no quiere decir que formen una matriz, es solo un modo elegante de ordenar los dos primeros casos.

⎡⎣⎢[11,1][22,1][33,1][11,2][22,2][33,2][11,3][22,3][33,3]⎤⎦⎥=⎡⎣⎢0−r−rsen2θ00−12r2sen(2θ)000⎤⎦⎥[[11,1][11,2][11,3][22,1][22,2][22,3][33,1][33,2][33,3]]=[000−r00−rsen2θ−12r2sen(2θ)0]

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3. Caso: [ij,i]=[ji,i]12∂gii∂xj[ij,i]=[ji,i]12∂gii∂xj

Para un sistema de coordenadas esféricas ,se tiene los siguientes valores para los símbolos de Chistoffel:

[12,1]=[21,1]=12∂g11∂x2=0[12,1]=[21,1]=12∂g11∂x2=0

[13,1]=[31,1]=12∂g11∂x3=0[13,1]=[31,1]=12∂g11∂x3=0

[21,2]=[12,2]=12∂r2∂r=r[21,2]=[12,2]=12∂r2∂r=r

[23,2]=[32,2]=12∂r2∂ϕ=0[23,2]=[32,2]=12∂r2∂ϕ=0

[31,3]=[13,3]=12∂(r2sen2θ)∂r=rsen2θ[31,3]=[13,3]=12∂(r2sen2θ)∂r=rsen2θ

[32,3]=[23,3]=12∂(r2sen2θ)∂θ=r2senθcosθ=12r2sen(2θ)[32,3]=[23,3]=12∂(r2sen2θ)∂θ=r2senθcosθ=12r2sen(2θ)

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4. Caso Los tres índices son diferentes (i≠j≠i)(i≠j≠i)

gik=0gik=0 para i≠ki≠k

En un sistema de coordenada esféricas se cumple:

[21,3]=0[21,3]=0

[31,2]=0[31,2]=0

[12,3]=0[12,3]=0

[32,1]=0[32,1]=0

[13,2]=0[13,2]=0

[23,1]=0[23,1]=0

Resumiendo: En el caso de un sistema de coordenadas esféricas, los únicos casos , en los que se obtiene valores no nulos para los símbolos de Chistoffel, son los siguientes:

[22,1]=−r[22,1]=−r

[33,1]=−rsen2θ[33,1]=−rsen2θ

[33,2]=−12r2sen(2θ)[33,2]=−12r2sen(2θ)

[21,2]=[12,2]=12∂r2∂r=r[21,2]=[12,2]=12∂r2∂r=r

[31,3]=[13,3]=12∂(r2sen2θ)∂r=rsen2θ[31,3]=[13,3]=12∂(r2sen2θ)∂r=rsen2θ

[32,3]=[23,3]=12∂(r2sen2θ)∂θ=r2senθcosθ=12r2sen(2θ)[32,3]=[23,3]=12∂(r2sen2θ)∂θ=r2senθcosθ=12r2sen(2θ)

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