¿Qué interpretación geométrica tiene el determinante negativo de una matriz 3x3?

La interpretación geométrica es el volumen de un paralelepípedo:

Esa es la imagen de la Wikipedia en inglés, que dice que el valor absoluto del determinante es el volumen de ese paralelepípedo construido con los vectores columna de la matriz.
O los vectores fila: sería el mismo resultado (mismo volumen) aunque los vectores sean diferentes y el paralelepípedo sea diferente.

Entonces, lo único que falta saber es el signo, que es algo que resalta la pregunta al destacar el caso en el que el determinante sea negativo.

De acuerdo.

El signo tiene relación con la orientación espacial relativa de los 3 vectores.
¿Qué es eso?
Supongo que muchos conocen lo que es la regla de la mano derecha o la regla del sacacorchos. Estas reglas se mencionan en física pero también en matemáticas al hablar del producto vectorial.

Esta imagen ilustra la regla de la mano derecha.
El estado más habitual de cualquier mano es abierta y el movimiento más habitual partiendo de ese estado inicial es cerrar la mano (ej: para agarrar algo). Si la cierras dejando el pulgar separado y el movimiento de cerrar sigue el sentido del vector u al vector v entonces el pulgar denotará el sentido del producto vectorial u × v de esos vectores en ese orden.
Si fuese en el orden contrario, v × u el resultado tendría el sentido contrario.

Nótese que el pulgar también es perpendicular (aproximadamente) al plano formado por los vectores u y v … lo cual es justo lo que es el producto vectorial: otro vector perpendicular a los factores de entrada. Aunque esos vectores u y v no tienen por qué ser perpendiculares entre sí, su producto vectorial siempre será perpendicular a ambos.

Esta imagen ilustra la regla del sacacorchos.
Creo que la mayoría de personas hemos usado un sacacorchos.
Si se gira un sacacorchos en sentido de rotación de u a v el movimiento del propio sacacorchos, según su forma helicoidal, es en el mismo sentido que el del vector producto vectorial.

¿Qué tiene que ver todo esto de la regla de la mano derecha o el sacacorchos o el producto vectorial con un determinante de una matriz 3×3?
¡Mucho!!

Si los vectores columna o fila de la matriz son a, b y c entonces el determinante es exactamente esto:

|M| = a · (b × c )

El producto escalar del primer vector de la matriz por el producto vectorial del segundo y el tercero (en ese orden).

|M| = a · (b × c ) = - a · (c × b ) = - (c × b ) · a = (b × c ) · a

Todo esto tiene relación también con una forma de denotar el producto vectorial:

w=u×v=∣∣∣∣∣iuxvxjuyvykuzvz∣∣∣∣∣=∣∣∣uyvyuzvz∣∣∣i−∣∣∣uxvxuzvz∣∣∣j+∣∣∣uxvxuyvy∣∣∣kw=u×v=|ijkuxuyuzvxvyvz|=|uyuzvyvz|i−|uxuzvxvz|j+|uxuyvxvy|k

Esa es una notación un poco extraña, quizá poco rigurosa matemáticamente (el primer determinante grande 3×3), pero creo que bastante cómoda y aclaratoria… al menos para ver de un vistazo que el producto escalar del primer vector por ese producto vectorial del segundo y el tercero dará inevitablemente el mismo resultado que el determinante.

¿Y no es muy raro hablar de "volúmenes negativos" ??

Creo que no es tan raro.
Por ejemplo, cuando hacemos una integral definida según la interpretación integral de Riemann estamos acostumbrados a sumar áreas negativas.

En imagen aparece un área negativa en color amarillo.

Si la función fuese una constante, la integral definida sería positiva ("área positiva") si la constante es mayor que cero pero sería negativa ("área negativa") si fuese menor que cero.
Nótese que los ejes de coordenadas X e Y tienen una disposición espacial concreta de forma que si haces su producto vectorial sería un vector que "viene" de la pantalla hacia ti. Si tienes un valor de coordenada "x" positivo y un valor de coordenada "y" positivo, entonces el producto vectorial es un área positiva en sentido Z.
Pero si el valor de "y" es negativo, como el caso en que la función sea f(x) = - |c| (una constante negativa) el vector del eje Y apunta hacia abajo y el sentido es justo el contrario, que podríamos decir que es negativo respecto al eje Z… sería un "área negativa".

Nótese que un determinante 2×2 también se interpreta como un área con signo.
Si los vectores son en dirección X e Y respectivamente el área será positiva pero si son Y y X el determinante será negativo, un área negativa.

El caso del volumen sería análogo a todo esto. Una vez que haces el producto vectorial de dos de los vectores de la matriz comparas a dónde apunta ese producto vectorial con la dirección donde apunta el vector que falta… si apuntan más bien hacia la misma dirección se considera un "volumen positivo" mientras que si apuntan más bien en sentido contrario (producto escalar negativo) se considera un "volumen negativo".

RESUMEN:

El valor absoluto del determinante siempre será el [valor absoluto] del volumen de un paralelepípedo asociado a la matriz.

Y el signo dependerá de la orientación espacial relativa de los 3 vectores considerados.

Uniendo ambos conceptos, podríamos decir que el determinante (con su signo) se puede interpretar como un "volumen con signo", según las ideas expresadas en esta respuesta.