¿Si miras lo suficientemente cerca de un átomo, ¿los electrones giran alrededor de él como los planetas de un sol?

No, definitivamente no.

Aunque hemos crecido (pienso que todos, incluyendo físicos) con la idea de que un átomo es un muy pequeño sistema planetario, la verdad es que los átomos no son así.

Ese modelo, que es conocido como el modelo de Rutherford tiene el inconveniente de que, si realmente los electrones fueran pequeñas esferas girando alrededor del núcleo, con el paso del tiempo fueran perdiendo energía y por lo tanto caerían inevitablemente hacia el núcleo. Luego hubo propuestas como la de Bohr que mejoraban dicho modelo, pero finalmente Schrödinger indicó que, efectivamente los electrones giran alrededor del núcleo, pero que lo hacen de manera cuántica.

En la mecánica cuántica, las reglas no son las mismas a las que estamos acostumbrados. En el mundo cuántico, existe la indeterminación, esto quiere decir que un objeto cuántico como los electrones no tienen por qué tener determinada su posición como sucede con un planeta alrededor del sol. La posición de un electrón está definida por su función de onda, llamada orbital. La función de onda es una función que indica la probabilidad de encontrar una partícula cuántica en un lugar determinado.

La función de onda de un átomo de hidrógeno es algo así:

El electrón "está en todos esos sitios celestes a la vez", con mayor o menor probabilidad hasta que le forcemos (y la clave es forcemos) a aparecer en un sitio en concreto. Aunque es contraintuitivo, el mundo cuántico es así.

Te dejo un video en el que se explica a más detalle:

Si quieres conocer más sobre los distintos modelos atómicos que han existido a través de los años, puedes visitar Modelo atómico - Wikipedia, la enciclopedia libre

Y si quieres "ver" las distintas "formas" del átomo de hidrógeno: Hydrogen Atom Orbital Viewer