¿Cómo se resuelve el siguiente problema? Se tira 12 veces un dado de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par exactamente...

El dado tiene 6 caras, pero la pregunta es sobre pares e impares, así que como el dado tiene 3 pares y 3 impares, como se supone que el dado no está trucado, la probabilidad de salir par será la misma que salir impar, un 50% cada una.

A partir de este punto, el problema es como lanzar una moneda y que salga un resultado concreto exactamente 2 veces.

¿Cuáles son los casos posibles?

Si anotas los 12 resultados uno detrás de otro tendrás un número de 12 cifras donde cada cifra puede tener dos valores, es decir, son números binarios.
¿Cuántos números binarios posibles puede haber con 12 cifras?
Pues 2^12
Los números binarios y las potencias de 2 son muy conocidos en informática, en computación. Se sabe que 2^10 es 1024… Por ejemplo, un kibibyte son 1024 bytes.
Y 2^12 son 4 veces eso: 4 kB = 4096 bytes.

También se puede decir que son Variaciones de 2 elementos tomados de 12 en 12.

Por tanto, tenemos un total de 4096 resultados posibles.

Es importante destacar que esos 4096 casos son equiprobables, es decir, que no es más probable un caso que otro.
La misma probabilidad tiene PPIIIIIIIIII
(primero 2 pares, y luego 10 impares)
que PPPPPPPPPPPP
(todos pares)
En el primero la probabilidad es (1/2)*(1/2)*(1/2)*…*(1/2) = (1/2)^12 = 1/4096
Y en el segundo caso la misma.

¿Y cuántos son los casos favorables?

Es decir, ¿cuántos de esos resultados tienen exactamente dos “unos” (o dos “pares”, o dos “caras” si fuese una moneda)?

Esto son las formas que hay de ordenar esto: 110000000000
Podrías contarlas:
110000000000
101000000000
…
100000000001

011000000000
010100000000
…
01000000001

…

000000000011

Eso son:
11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =
= 12*11/2 = 66
(la suma de una progresión aritmética)

O podrías calcularlo como permutaciones con repetición:

PR(12; 10, 2) = 12*11/2 = 66

O también con combinaciones de 12 elementos tomados de 2 en 2 (los dos elementos que tomas son las posiciones de los dos “unos”, las dos veces que el dado sale par):

C(12,2)=(122)=12⋅112=66C(12,2)=(122)=12⋅112=66

La probabilidad se obtiene dividiendo los casos favorables entre el total de casos posibles:

p = 66/4096 = 33/2048

Eso es aproximadamente 0.016
Es decir, un 1.6%
O un 16 por 1000, de cada 1000 veces ocurrirá eso 16 veces.

Y para el que sabe un poco más, se puede resolver en una sola línea mediante la distribución Binomial :

B(12,2,12)=(122)⋅(12)2⋅(12)10=12∗112⋅14096=332048B(12,2,12)=(122)⋅(12)2⋅(12)10=12∗112⋅14096=332048