Se distribuyen al azar 10 objetos idénticos en 15 cajas diferentes. ¿Calcula la probabilidad de que las dos primeras tengan al menos un objeto cada...

De forma similar a otro problema de 12 bolas en 3 cajas [1], supondré que cada objeto, que en este caso sí se dice que son indistinguibles, puede caer al azar en cada una de las 15 cajas… lo que significa que cada caja tiene probabilidad 1/15 en cada objeto que se coloca.

Cuando se dice "al menos uno" suele ser mejor calcular cuándo no tienen ninguno.

Llamemos el número de elementos en cada caja como c1 y c2 (caja 1 y caja 2).
Y llamemos a los 10 objetos como o1, o2, o3 … o10.

P("c1>0 y c2>0") = 1 - P( "c1=0 ó c2=0")

= 1 - P("c1=0" unión "c2=0")

P("c1=0" U "c2=0") = P("c1=0") + P("c2=0") - P("c1=0 y c2=0")

P("c1=0") = P(ningún objeto cae en c1)
"ningún objeto cae en c1" es lo mismo que decir: "o1 no cae en c1, y o2 no cae en c1, … y o10 no cae en c1".
Se supone que cada "distribución" de un objeto es independiente, y por tanto, la probabilidad con ese "y", que es una intersección, es el producto de probabilidades.

P(ningún objeto cae en c1) =

= P("o1 no c1")•P("o2 no c1")• … •P("o10 no c1")

Además, cada una de esas 10 probabilidades es igual a las otras 9, todas ellas son iguales y es: P("o_i no c1") =

= 1 - P("o_i cae en c1") = 1 - 1/15 = 14/15

Por tanto, multiplicando 10 veces:
P(ningún objeto cae en c1) = (14/15)^10

Del mismo modo:
P(ningún objeto cae en c2) = (14/15)^10

Ahora falta P("c1=0 y c2=0")
Esto es que cada objeto "no cae en c1 y no cae en c2".
Pero, atención, porque esta "y" no es entre sucesos independientes.
Antes dije que dónde cae un objeto (ej: o1) es independiente de dónde cae otro objeto (ej: o2) pero ahora se trata de un mismo objeto y diferentes cajas (c1 y c2). Lo de antes era independiente, lo de ahora no.
Sucesos independientes es equivalente a que la probabilidad de la intersección sea el producto de probabilidades. La probabilidad de que un mismo objeto (ej: o1) caiga en c1 y a la vez en c2 NO es la multiplicación (1/15)·(1/15) sino que es exactamente 0, es imposible que caiga a la vez en dos cajas diferentes.
Para cada objeto,
P("no cae en c1 y no cae en c2") = 13/15
(cae en una de las 13 cajas restantes)

Otra forma más rigurosa de calcular:
P(cae en c1) = 1/15
P(cae en c2) = 1/15
P(cae en c1 o en c2) = (unión)

= 1/15 + 1/15 + P(cae en c1 y en c2)

= 2/15 + 0

P(no "cae en c1 o en c2") = 1 - 2/15

P("no cae en c1" y "no cae en c2") = 13/15
(como dije antes)

Esa probabilidad 13/15 es para 1 objeto.

Que ninguno de los 10 caiga: (13/15)^10

Con esos resultados parciales volvemos a las fórmulas iniciales:

P("c1>0 y c2>0") = 1 - P("c1=0" unión "c2=0")

P("c1=0" U "c2=0") = P("c1=0") + P("c2=0") - P("c1=0 y c2=0")
= 2· (14/15)^10 - (13/15)^10
= [2·14^10 - 13^10]/15^10

P("c1>0 y c2>0") = 1 - [2·14^10 - 13^10]/15^10
= [15^10 - 2·14^10 + 13^10 ] / 15^10

p = 135999572522 / 576650390625

p = 0.23584406554…

→ aproximadamente un 23.6%

Mediante combinatoria se puede resolver de manera similar.

Si cada uno de los 10 objetos va a una caja, cada uno de los sucesos elementales se puede representar como una 10-tupla o "número" de 10 "dígitos" en base 15… pudiendo repetir.

Ej: (c3, c3, c9, c6, c3, c11, c15, c4, c5, c7)

Significa que los objetos o1, o2 y o5 caen en la caja c3. En las cajas c1 y c2 no caen.

Son Variaciones con Repetición de 15 elementos tomados de 10 en 10.

Total: VR(15, 10) = 15^10

Para calcular los favorables: de ese total quitamos los que no caen en c1 y luego quitamos los que no caen en c2 excepto los que no caen c1.

No caen en c1 : Variaciones con Repetición de 14 elementos tomados de 10 en 10.

Nnoc1 = VR(14, 10) = 14^10

Los que no caen en c1 ni c2: 13^10

Los que no caen en c2 excepto los que no caen en c1: 14^10 — 13^10

Favorables:

15^10 - ( 2•14^10 - 13^10)

Probabilidad = Favorables / Total

= [15^10 - 2•14^10 + 13^10] / 15^10

Notas al pie