¿Se puede representar un vector como un polinomio?

En algunos casos, sí, en muchos casos… ¡Pero no siempre!!! No todo vector, en el sentido más general y abstracto del sentido de la palabra vector, podría representarse de forma completa y exacta con un polinomio…

Se deduce de las definiciones de vector y polinomio.

Un vector es simplemente cualquier elemento de una estructura conocida con el nombre de Espacio Vectorial. Sin dar todos los detalles, se puede comprobar que en esa definición de EV se habla de un Cuerpo, es decir, de un conjunto particular de "números" en relación con unas operaciones que cumple unas propiedades concretas.

Por otro lado, en la definición más general de polinomio aparece otra estructura matemática que se conoce con el nombre de Anillo. Los coeficientes del polinomio son habitualmente "números", pero no se exige tanto como en el EV, no se exige que pertenezcan a un Cuerpo sino que basta que ese conjunto tenga estructura de Anillo, lo cual es un poco menos exigente.

Es cierto que todo Cuerpo es un Anillo, un tipo especial de Anillo que es conmutativo y unitario. Alguien podría pensar: "ah, si todo Cuerpo es un Anillo, entonces sea cual sea el Cuerpo sobre el que se defina el EV al que pertenece el vector, podremos formar polinomios cuyos coeficientes sean elementos de ese Cuerpo, y, por tanto, también son elementos de un Anillo, así que son polinomios bien definidos, de acuerdo a las 'normas' usadas en la definición de los polinomios". Con este razonamiento alguien podría precipitarse y concluir que todo vector sea como sea podría representarse con un polinomio. Pero eso es falso en general.

¿Cuál es el problema?

El problema es que existen Espacios Vectoriales de dimensión infinita, y, por tanto, la base tendría infinitos vectores, y el número de coordenadas sería infinito. Algunos vectores tienen infinitas componentes o coordenadas. Sin embargo, todo polinomio tiene un grado finito, nunca infinito, y, por tanto, el número de coeficientes de un polinomio nunca es infinito. No podrías nunca jamás representar algunos vectores que tienen infinitas componentes con un polinomio que solo disponen de un número finito de coeficientes.

Quizá esta respuesta resultó demasiado abstracta, un poco indigesta mentalmente, difícil de asimilar.

Así que pondré algunos ejemplos.

Los Espacios Vectoriales más conocidos son los de dimensión finita, como R^2 y R^3. En el caso R^3 hablaríamos de un Espacio Vectorial de 3 dimensiones, cuyos vectores se pueden representar como (a, b, c) siendo esos 3 números reales lo que se llaman componentes o coordenadas del vector en la base canónica. Cualquier vector de ese EV podría representarse con un polinomio de la forma a•x^2 + b•x + c

Si la "a" no es cero sería un polinomio de grado 2. Si la "a" es cero sería de grado 1 en caso de ser b distinto de cero y de grado 0 si ambos, a y b, son cero.

En este caso, como la dimensión es finita (concretamente 3) no hubo problema.

Sin embargo, hay casos de vectores de dimensión infinita. Un ejemplo típico es el de las funciones continuas de R a R (funciones reales de [una] variable real, es decir, cuyo dominio es todos los reales y su codominio es todos los reales).

Un caso particular de funciones continuas serían las funciones analíticas que se pueden expresar siempre como serie de Maclaurin convergente en todos los números reales. De esta forma, una base de este espacio sería el conjunto infinito de funciones siguiente: {1, x, x^2, x^3…}. Hay tantos vectores en la base como números naturales, y, por tanto, infinitos vectores en dicha base, lo cual significa que tiene dimensión infinita. Los infinitos coeficientes del desarrollo en serie de Maclaurin serían las componentes, también llamadas coordenadas, respecto a esa base mencionada de dimensión infinita. Cada vector de ese espacio vendría definido unívocamente por una secuencia concreta de infinitos números reales.

Por ejemplo, la función e^x, es decir, "el número e elevado a x", para cualquier x que sea un número real, tiene un desarrollo en serie que es:

1 + x + (1/2)•x^2 + … + (1/k!)•x^k + …

De esa forma, las componentes del vector respecto a la base mencionada sería la secuencia infinita de números reales siguiente:

(1, 1, 1/2, 1/6, …, 1/k! …)

Esa función f(x) = e^x es un vector, ya que pertenece a un Espacio Vectorial correctamente definido y que cumple todas las condiciones necesarias y suficientes correspondientes a la definición de EV.

Sin embargo, no puedes representar este vector con ningún polinomio, por muy grande que sea el grado de este polinomio. Nunca el grado del polinomio será infinito, y, por tanto, no será válido.

Comprender todos los detalles, incluso de un solo ejemplo como este, puede ser un poco complicado, requiere prestar atención a los detalles sutiles. Por ejemplo, en las condiciones de Espacio Vectorial se requiere que una suma de dos vectores de ese conjunto candidato a EV pertenezca a ese mismo conjunto. Y no solo una suma sino una combinación lineal de dos vectores cualesquiera del conjunto. Sin embargo, una suma de infinitos vectores o, más en general, una combinación lineal de infinitos vectores de ese espacio podría ser una función que no pertenezca a ese espacio… pero esto no incumple los requisitos para ser un EV correctamente definido y válido. Si eliges uno, dos, o un número finito de vectores de la base que mencioné antes, cada una de esas funciones de la base vectorial es convergente y su suma [finita] es convergente pero si tomas infinitos de ellos la suma podría no ser convergente en algunos casos.