Matemáticamente hablando, ¿los componentes de un vector tienen que ser perpendiculares entre sí?

Espero que la pregunta que se quería hacer es: ¿Un vector debe estar siempre expresado en una base ortogonal? Si nos atenemos a la pregunta estricta, ésta carece de sentido ya que las componentes de un vector sólo son los coeficientes de una combinación lineal de los vectores de la base del espacio al que pertenece el vector, y cómo tales coeficientes, son escalares. Ergo, carecen de dirección (que es una propiedad de los vectores, NO de los escalares).

Pero si obviamos ese error y respondemos a la pregunta que he escrito en negrita, la respuesta es que no. No es necesario. Vamos a ver un ejemplo sencillo que lo ilustra.

Todo espacio vectorial puede tener infinitas bases, y sólo una parte de éstas serán bases ortogonales. Dado que las componentes de un vector son los coeficientes de la combinación lineal que permite obtenerlo a partir de una base dada, es obvio que las bases no ortogonales darán lugar a expresiones del vector cuyas componentes no serán “perpendiculares” entre sí.

Te pondré un ejemplo muy sencillo pero que es extrapolable a cualquier espacio vectorial de cualquier dimensión.

Consideremos el caso de R2R2. Se puede demostrar (eso lo dejo como ejercicio para el lector), que el conjunto de vectores

B={b1→,b2→}={(1,0),(1,1)}B={b1→,b2→}={(1,0),(1,1)},

es una base de R2R2, y es obvio que no son ortogonales entre si, ya que:

b1→⋅b2→=(1,0)⋅(1,1)=1+0=1≠0b1→⋅b2→=(1,0)⋅(1,1)=1+0=1≠0

Ahora considera un vector cualquiera de R2R2, cuyas componentes en la base canónica EE (que sí es ortogonal; es más, es ortonormal) sean (x,y)E(x,y)E:

v⃗ E=(x,y)E=x⋅e1→+y⋅e2→=x(1,0)+y(0,1)v→E=(x,y)E=x⋅e1→+y⋅e2→=x(1,0)+y(0,1)

Este mismo vector v⃗ v→ lo puedes escribir en la base BB según:

v⃗ B=α(1,0)+β(1,1)v→B=α(1,0)+β(1,1)

Como el vector v⃗ v→ es siempre el mismo, independientemente de en qué base estemos expresando sus componentes, resulta que deberá cumplirse que:

α(1,0)+β(1,1)=x(1,0)+y(0,1)α(1,0)+β(1,1)=x(1,0)+y(0,1)

ecuación con incógnitas αα y ββ que podemos resolver fácilmente.

Tenemos que:

α(1,0)+β(1,1)=x(1,0)+y(0,1)⇒(α,0)+(β,β)=(x,0)+(0,y)⇒α(1,0)+β(1,1)=x(1,0)+y(0,1)⇒(α,0)+(β,β)=(x,0)+(0,y)⇒

⇒(α+β,β)=(x,y)⇒(α+β,β)=(x,y),

lo cual sólo es cierto si:

α+β=xα+β=x

β=yβ=y

Resolvemos el sistema formado por ambas ecuaciones y obtenemos las componentes del vector v⃗ v→ en la base BB:

α=x−yα=x−y

β=yβ=y

Por lo tanto, el vector:

v→E=(x,y)v→E=(x,y),

en la base canónica EE, será el vector:

v→B=(x−y,y)v→B=(x−y,y),

en la base BB. Y dado que la base BB no es ortogonal, ya resulta claro que no es necesario que las componentes de un vector sean ortogonales entre sí.

Como dije antes, esto se puede generalizar a cualquier espacio vectorial de dimensión nn (incluso infinita) fácilmente, lo cual responde la pregunta en todos los casos posibles.