2. (a) Evaluar el siguiente ĺımite, si existe : lim (x,y)!(0,0) xy2 x2 + y2. (b) Determinar si el punto (0, 0, 0) pertenece al plano tangente a la...

(a) Para evaluar el ĺımite lim (x,y)!(0,0) xy2 x2 + y2, podemos usar la regla de l'Hôpital. Esta regla dice que si lim (x,y)!(a,b) f(x,y)/g(x,y) existe, entonces también existe lim (x,y)!(a,b) f'(x,y)/g'(x,y). En nuestro caso, f(x,y) = xy2 y g(x,y) = x2 + y2. Por lo tanto, tenemos:

lim (x,y)!(0,0) xy2 x2 + y2 = lim (x,y)!(0,0) f'(x,y)/g'(x,y)

f'(x,y) = 2xy + 2y2 y g'(x,y) = 2x + 2y. Por lo tanto, tenemos:

lim (x,y)!(0,0) xy2 x2 + y2 = lim (x,y)!(0,0) (2xy + 2y2) / (2x + 2y)

Usando la regla de l'Hôpital, tenemos:

lim (x,y)!(0,0) (2xy + 2y2) / (2x + 2y) = lim (x,y)!(0,0) (2x + 2y) / (2x + 2y)

Este ĺımite es igual a 1, por lo que lim (x,y)!(0,0) xy2 x2 + y2 también es igual a 1.

(b) Para determinar si el punto (0, 0, 0) pertenece al plano tangente a la gráfica de la función f(x, y) = 6xe2y por el punto (1, 0, 6), podemos usar la ecuación del plano tangente. La ecuación del plano tangente a la gráfica de una función f(x, y) por el punto (a, b) es:

f(a, b) + f_x(x - a) + f_y(y - b) = z

En nuestro caso, f(x, y) = 6xe2y, f_x(x, y) = 12xe2y y f_y(x, y) = 12x2e2y. Por lo tanto, la ecuación del plano tangente a la gráfica de f(x, y) = 6xe2y por el punto (1, 0, 6) es:

6e2y + 12e2y(x - 1) + 12(x - 1)^2e2y = z

Si sustituimos x = 0 y y = 0 en esta ecuación, obtenemos:

6e2(0) + 12e2(0)(0 - 1) + 12(0 - 1)^2e2(0) = z

Esta ecuación es igual a 0, por lo que el punto (0, 0, 0) pertenece al plano tangente a la gráfica de la función f(x, y) = 6xe2y por el punto (1, 0, 6).