(*) Sea (X, Y ) un vector aleatorio con distribución uniforme en la región: 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ x+ h para todo 0 < h < 1. (a) Calcular E (X) , E (...

a) La esperanza de X es:

E(X) = \int_0^1 \int_x^{x+h} x \, dy \, dx = \frac{h^2}{2}

La esperanza de Y es:

E(Y) = \int_0^1 \int_x^{x+h} y \, dy \, dx = \frac{x(2h+1)}{2}

La esperanza de XY es:

E(XY) = \int_0^1 \int_x^{x+h} x \cdot y \, dy \, dx = \frac{h^3}{3}

b) La covarianza de X e Y es:

\operatorname{cov}(X,Y) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y) = \frac{h^3}{3} - \frac{h^3}{2} = -\frac{h^3}{6}

El coeficiente de correlación de X e Y es:

\rho_{XY} = \frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{var}(X)} \cdot \sqrt{\operatorname{var}(Y)}} = \frac{-\frac{h^3}{6}}{\sqrt{\frac{h^2}{2}} \cdot \sqrt{\frac{(2h+1)^2}{4}}} = -\frac{h}{\sqrt{2h+1}}

c) Cuando h tiende a cero, ρXY

​ tiende a -1. Esto se debe a que la distribución de (X,Y) se hace más y más estrecha alrededor de la línea y=x. A medida que h se hace más pequeño, la probabilidad de que (X,Y) esté lejos de la línea y=x se vuelve cada vez más pequeña. Esto significa que la correlación entre X e Y se vuelve más negativa, ya que X e Y tienden a estar más fuertemente correlacionados cuando están cerca de la línea y=x.