111. Calcula el área del triángulo definido por lo puntos A, B y C: a) A(3,1,3), B(7,1,2), C(5,7,1) b) A(1,5,6), B(5,1,2), C(7,7,4)

Solución a)

El área de un triángulo se calcula como la mitad del producto de la base y la altura. En este caso, la base es el segmento BC

y la altura es perpendicular a la base y pasa por el punto A.

A(3,1,3)
B(7,1,2)
C(5,7,1)
BC = \sqrt{(7 - 5)^2 + (1 - 7)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{20}
h = \sqrt{(3 - 5)^2 + (1 - 1)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{8}

Por lo tanto, el área del triángulo es:

A = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times \sqrt{20} \times \sqrt{8} = 4 \sqrt{5}

Respuesta:

El área del triángulo es 4 5

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​.

Solución b)

Siguiendo el mismo procedimiento que en el caso anterior, obtenemos las siguientes magnitudes:

A(1,5,6)
B(5,1,2)
C(7,7,4)
BC = \sqrt{(7 - 5)^2 + (7 - 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{50}
h = \sqrt{(1 - 5)^2 + (5 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{18}

Por lo tanto, el área del triángulo es:

A = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times \sqrt{50} \times \sqrt{18} = 3 \sqrt{10}

Respuesta:

El área del triángulo es 3 10

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​.