122. Calcula el volumen del tetraedro definido por los puntos A, B, C y D: a) A(5,1,3), B(7,5,2), C(5,6,4), D(1,2,5) b) A(7,1,7), B(6,2,2), C(3,7...

Solución a)

El volumen de un tetraedro se calcula como un sexto del producto vectorial de tres vectores que forman un triángulo de la base del tetraedro. En este caso, podemos tomar los vectores AB

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, AC

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y AD

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para formar el triángulo de la base del tetraedro:

A(5,1,3)
B(7,5,2)
C(5,6,4)
D(1,2,5)
AB = (7 - 5, 5 - 1, 2 - 3) = (2, 4, -1)
AC = (5 - 5, 6 - 1, 4 - 3) = (0, 5, 1)
AD = (1 - 5, 2 - 1, 5 - 3) = (-4, 1, 2)

Por lo tanto, el volumen del tetraedro es:

V = \frac{1}{6} |(2, 4, -1) \times (0, 5, 1) \times (-4, 1, 2)|

Calculando el determinante de los tres vectores, obtenemos:

V = \frac{1}{6} |31| = \frac{31}{6}

Solución b)

Siguiendo el mismo procedimiento que en el caso anterior, obtenemos los siguientes vectores:

A(7,1,7)
B(6,2,2)
C(3,7,2)
D(2,2,7)
AB = (6 - 7, 2 - 1, 2 - 7) = (-1, 1, -5)
AC = (3 - 7, 7 - 1, 2 - 7) = (-4, 6, -5)
AD = (2 - 7, 2 - 1, 7 - 7) = (-5, 1, 0)

El volumen del tetraedro es:

V = \frac{1}{6} |(-1, 1, -5) \times (-4, 6, -5) \times (-5, 1, 0)|

Calculando el determinante de los tres vectores, obtenemos:

V = \frac{1}{6} |5| = \frac{5}{6}

Respuestas:

a) El volumen del tetraedro es 6

31

​. b) El volumen del tetraedro es 6

5

​.