32. Probar que la ecuación x3+ax2+bx+c = 0 tiene siempre alguna solución real. ¿Es cierto también para la ecuación x4+ax3+bx2+cx+d = 0?

Demostración

Consideremos la función f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Esta función es continua en todo el plano complejo. Además, f(0) = c, que es un número real.

Por el teorema del valor intermedio, existe un número real x tal que f(x) = 0. Este número x es una solución de la ecuación x3 + ax2 + bx + c = 0.

Respuesta

Sí, también es cierto para la ecuación x4+ax3+bx2+cx+d = 0.

La demostración es similar a la anterior. Consideremos la función g(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Esta función también es continua en todo el plano complejo. Además, g(0) = d, que es un número real.

Por el teorema del valor intermedio, existe un número real x tal que g(x) = 0. Este número x es una solución de la ecuación x4+ax3+bx2+cx+d = 0.

En resumen, ambas ecuaciones tienen siempre alguna solución real.