a) (0.75 pontos) Calcula el desarrollo en serie de Fourier de la función periódica de periodo 2π dada por f (t) = { 0 si t∈]− π,0] t si t∈ [0, π[ f (π) = π/2 y f (t +2π) = f (t) para todo t∈R. b) (0.75 pontos) Justifica que para todo t∈R se verifica que la suma de la serie de Fourier de f es igual a f (t) y deduce que ∞ ∑ n=1 1 (2n−1)2 = π 2 8 y ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 2n−1 = π 4 . Solución .a) Se calcula fácilmente, integrando por partes, que cn = 1 2π πw 0 t e−int d t = i 2n (−1)n + 1 2π 1 n2 ( (−1)n −1 ) y c0 = π 4 . Deducimos que los coeficientes coseno y seno de f vienen dados por an = cn + c−n = 1 πn2 ( (−1)n −1 ) =⇒ a2n = 0, a2n−1 = − 2 π(2n−1)2 bn = i(cn − c−n) = (−1)n+1 n Departamento de Análisis Matemático Universidad de Granada Fundamentos Matemáticos I 2o Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios del examen del 13 de febrero de 2006 6 y a0 = π 2 . b) La función f es periódica con periodo 2π y es derivable a trozos en [−π, π]. Además los únicos puntos de discontinuidad de f son los múltiplos impares de π, donde la función salta de 0 a π, y en dichos puntos la función se ha definido igual a π/2. Concluimos, en virtud del teorema de Riemann-Dirichlet, que la serie de Fourier de f converge en todo punto t∈R y su suma es igual a f (t): f (t) = a0 2 + ∞ ∑ n=1 (an cos(nt)+bn sen(nt)) = π 4 − 2 π ∞ ∑ n=1 1 (2n−1)2 cos((2n−1) t)+ ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 n sen(nt) (2) Haciendo en esta igualdad t = 0, obtenemos f (0) = 0 = π 4 − 2 π ∞ ∑ n=1 1 (2n−1)2 =⇒ ∞ ∑ n=1 1 (2n−1)2 = π 2 8 Haciendo en la igualdad (2) t = π/2, obtenemos f (π/2) = π 2 = π 4 + ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 n sen(n π/2) = π 4 + ∞ ∑ n=1 (−1)2n 2n−1 sen((2n−1)π/2) = π 4 + ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 2n−1 De donde se sigue que ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 2n−1 = π 4 . 6 Dado a∈R, a < Z, se define la función de periodo 2: f (t) = eiπat para −1 6 t < 1 y f (t) = f (t +2). a) (0.5 puntos) Calcula la serie de Fourier de f . b) (0.5 puntos) Utiliza la igualdad de Parseval para deducir que ∞ ∑ n=−∞ 1 (a−n)2 = π 2 sen2(πa) . Solución .a) Para todo n∈Z tenemos que: cn = 1 2 1w −1 ei πat e−i πnt d t = 1 2 1w −1 et(i πa−i πn) d t = 1 2 1 i πa− i πn ( ei(πa−πn)−e−i(πa−πn) ) = = 1 2 1 i π(a−n) 2i sen(πa− πn) = (−1)n sen(πa) π(a−n) Deducimos que para −1 < t < 1 se verifica que ei πat = ∞ ∑ n=−∞ (−1)n sen(πa) π(a−n) ei πnt b) La identidad de Parseval afirma que 1 T T/2w −T/2 | f (t)|2 dt = ∞ ∑ n=−∞ |cn| 2 En nuestro caso será 1 2 1w −1 ∣ ∣ei πat ∣ ∣ 2 d t = 1 2 1w −1 1d t = 1 = ∞ ∑ n=−∞ sen2(πa) π 2 (a−n)2 =⇒ ∞ ∑ n=−∞ 1 (a−n)2 = π 2 sen2(πa)