B.1. Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro a ∈ R: x+ ay = a ax+ y + az = 0 z = 1  a) Discuta la compatibilida...

Solución

a) Discusión de la compatibilidad

El sistema tiene 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Por lo tanto, es posible que el sistema sea compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

Para determinar la compatibilidad del sistema, podemos calcular el determinante de la matriz de coeficientes del sistema:

| 1 a 0 |
| a 1 1 |
| 0 1 0 |
= 1 - a

Si el determinante es distinto de cero, entonces el sistema es compatible determinado. Si el determinante es igual a cero, entonces el sistema es compatible indeterminado o incompatible.

Caso 1: a ≠ 1

En este caso, el determinante es distinto de cero, por lo que el sistema es compatible determinado.

Caso 2: a = 1

En este caso, el determinante es igual a cero, por lo que el sistema es compatible indeterminado.

b) Solución para a = 2

Para a = 2, el sistema se reduce a:

x + 2y = 2
2x + y + 2z = 0
z = 1

Resolvemos el sistema para x e y:

x = 2 - 2y
2x + y = -2
2(2 - 2y) + y = -2
4 - 4y + y = -2
-3y = -6
y = 2

Por lo tanto, las soluciones del sistema son:

x = 0
y = 2
z = 1

Respuesta

a) El sistema es compatible determinado si a ≠ 1 y compatible indeterminado si a = 1.

b) Para a = 2, las soluciones del sistema son x = 0, y = 2 y z = 1.