A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos. Sea la función f(x) =  2x+ 1 x x < 0 x2 − 4x+ 3 x ≥ 0 . a) (0.75 puntos) Estudie la continuidad de f(...

Solución:

a)

La función f(x) es continua en R, ya que las funciones 2x + 1 y x2 − 4x + 3 son continuas en R.

b)

La función f(x) no es derivable en x = 0, ya que la función 2x + 1 no es derivable en x = 0.

c)

La función f(x) tiene una asíntota horizontal en y = 2, ya que la función 2x + 1 tiende a 2 cuando x tiende a +∞ o −∞.

La función f(x) no tiene asíntotas verticales, ya que el dominio de la función es R.

d)

Para x ∈ (0,∞), la función f(x) es igual a x2 − 4x + 3. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = a es:

f'(a) = 2a - 4

Para que la pendiente sea nula, se debe cumplir que 2a - 4 = 0, o bien a = 2.

El punto de la gráfica de f(x) en el que la pendiente de la recta tangente es nula es (2, 7), y la ecuación de la recta tangente en dicho punto es:

y - 7 = (2 - 2)(x - 2)
y - 7 = 0
y = 7

En el punto (2, 7), la función f(x) alcanza un máximo relativo, ya que la función f'(x) es negativa en un intervalo abierto que contiene a 2.

Respuesta:

• a) La función f(x) es continua en R.
• b) La función f(x) no es derivable en x = 0.
• c) La función f(x) tiene una asíntota horizontal en y = 2.
• d) El punto de la gráfica de f(x) en el que la pendiente de la recta tangente es nula es (2, 7), y la ecuación de la recta tangente en dicho punto es y = 7. En el punto (2, 7), la función f(x) alcanza un máximo relativo.