B.2. a) Planteamiento: 0.25 puntos. Resolución: 0.25 puntos. b) Estudio de la derivada: 0.5 puntos. Aplicación al análisis del crecimiento: 0.5 ...

B.2.

a)

Planteamiento:

Dada la función f(x) = x^2, ¿cuál es su derivada en x = 3?

Resolución:

La derivada de f(x) = x^2 es f'(x) = 2x. Por lo tanto, la derivada de f(x) = x^2 en x = 3 es f'(3) = 2 * 3 = 6.

Puntuación:

• Planteamiento: 0,25 puntos
• Resolución: 0,25 puntos
• Total: 0,5 puntos

Comentarios:

La respuesta se considera correcta si el alumno indica que la derivada de f(x) = x^2 es f'(x) = 2x, y que la derivada de f(x) = x^2 en x = 3 es f'(3) = 6.

b)

Estudio de la derivada:

La derivada de una función nos proporciona información sobre su comportamiento local. En particular, la derivada de una función en un punto nos indica la dirección de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

Aplicación al análisis del crecimiento:

La derivada de una función también se puede utilizar para analizar el crecimiento de la función. Por ejemplo, si la derivada de una función es positiva en un intervalo, entonces la función está creciendo en ese intervalo.

Puntuación:

• Estudio de la derivada: 0,5 puntos
• Aplicación al análisis del crecimiento: 0,5 puntos
• Total: 1 punto

Comentarios:

La respuesta se considera correcta si el alumno indica que la derivada de una función nos proporciona información sobre su comportamiento local, y que la derivada de una función también se puede utilizar para analizar el crecimiento de la función.

c)

Planteamiento de la continuidad:

Una función es continua en un punto si el límite de la función en ese punto existe y coincide con el valor de la función en ese punto.

Cálculos para la continuidad:

Para determinar si una función es continua en un punto, podemos utilizar el siguiente criterio:

• Si la función es definida en el punto, entonces la función es continua en el punto si y solo si el límite de la función en ese punto existe y es igual al valor de la función en ese punto.

Planteamiento sobre derivabilidad:

Una función es derivable en un punto si la derivada de la función existe en ese punto.

Resolución sobre recta tangente:

La recta tangente a la gráfica de una función en un punto es la recta que pasa por ese punto y tiene la misma pendiente que la función en ese punto.

Puntuación:

• Planteamiento de la continuidad: 0,25 puntos
• Cálculos para la continuidad: 0,25 puntos
• Planteamiento sobre derivabilidad: 0,25 puntos
• Resolución sobre recta tangente: 0,25 puntos
• Total: 1 punto

Comentarios:

La respuesta se considera correcta si el alumno indica que una función es continua en un punto si el límite de la función en ese punto existe y coincide con el valor de la función en ese punto. También se considera correcta si el alumno indica que una función es derivable en un punto si la derivada de la función existe en ese punto. Por último, se considera correcta si el alumno indica que la recta tangente a la gráfica de una función en un punto es la recta que pasa por ese punto y tiene la misma pendiente que la función en ese punto.