Sean x, y, z los autovalores de A, sabemos que Tr(A) = −4 y A2 + 2A tiene auto-valores −1, 3, 8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?...

La respuesta correcta es (d).

Sabemos que la traza de una matriz es la suma de sus autovalores, por lo que

Tr(A) = x + y + z = -4

También sabemos que el polinomio característico de A2 + 2A es (x - (-1))(x - 3)(x - 8) = x^3 - 11x^2 + 37x - 24. Por lo tanto, los autovalores de A2 + 2A son las raíces de este polinomio.

Si x es un autovalor de A, entonces x^2 también es un autovalor de A2. Por lo tanto, uno de los autovalores de A2 + 2A es x^2 - 4x = x(x - 4).

Como x es un autovalor de A2 + 2A, entonces

x(x - 4) = -1

Este polinomio tiene dos raíces reales, una de ellas es x = -1. La otra raíz es x = 4.

Si y es un autovalor de A, entonces y^2 también es un autovalor de A2. Por lo tanto, uno de los autovalores de A2 + 2A es y^2 - 4y = y(y - 4).

Como y es un autovalor de A2 + 2A, entonces

y(y - 4) = 3

Este polinomio tiene dos raíces reales, una de ellas es y = 1. La otra raíz es y = -3.

Si z es un autovalor de A, entonces z^2 también es un autovalor de A2. Por lo tanto, uno de los autovalores de A2 + 2A es z^2 - 4z = z(z - 4).

Como z es un autovalor de A2 + 2A, entonces

z(z - 4) = 8

Este polinomio tiene dos raíces reales, una de ellas es z = 2. La otra raíz es z = -4.

Por lo tanto, las únicas posibles combinaciones de autovalores para A son las siguientes:

(x, y, z) = (-1, 1, -3)
(x, y, z) = (-1, -3, 2)
(x, y, z) = (-4, 2, -4)

Solo la opción (d), (x, y, z) = (1, -2, 1), satisface la condición Tr(A) = -4. Por lo tanto, esta es la respuesta correcta.