Por otro lado: El desarrollo del anterior determinante por la primera fila, sería: ( - a11) · A11 + (- a12) · A12 + … + (- a1n) · A1n En A1h (n  h >1), la mayor potencia de  es (n – 2). Pero en el desarrollo de A11 aparece el sumando n-1, luego en el desarrollo de A aparecerá el sumando: - a11 · n-1. Haciendo análogo razonamiento con las demás filas, llegamos a que el coeficiente de n-1 en el desarrollo de A es: - (a11 + a22 + … + ann) Pero en (1) el coeficiente de n-1 es: – (1 + 2 + … + n) y queda probado que: a11 + a22 + … + ann = 1 + 2 + … + n = tr(A), c.s.q.d. b) Si hacemos  = 0, se tiene: -A= (-1)n·1·2 … n  y cómo: -A=(-1)n·A  A= 1·2 … n = i     n21 n 2 1 n .... ....000 ............ 0....00 0....00 AI·                                  nn1n n2221 n11211 n a......a ............ a...aa a...aa AI·     n 1i  33 Proposición 3: “Si A es una matriz simétrica, 1 y 2 / 1  2 son dos valores propios de la matriz A, y X1 y X2 dos vectores propios de dicha matriz  X1 y X2 son ortogonales.” (O sea: Xt 1·X2 = X1·Xt 2 = 0). Demostración: Tenemos que: A · X1 = 1 · X1 , A · X2 = 2 · X2 luego, Xt 2 · A·X1 = Xt 2 (1 · X1) = 1Xt 2 · X1 y análogamente: Xt 1 · A · X2 = 2Xt 1X2 (3) Como 1Xt 2X1 es una matriz de dimensión (1 x 1) será igual a su transpuesta. Luego: Xt 2AXt 1 = (Xt 2AX1)t = Xt 1 · At · X2 = Xt 1AX2 (4) pues al ser A simétrica, se tiene que: A = At. De (3) y (4) se deduce que: 1Xt 2X1 = 2Xt 1 · X2 , o sea: (1 - 2) Xt 2 · X1 = 0 (5) y como (1 - 2)  0, de la expresión anterior (5) se deduce que: Xt 2 · X1 = 0, es decir, que los autovectores X1 y X2 son ortogonales, c.s.q.d. Proposición 4: “Los valores propios de una matriz simétrica A son números reales”. Proposición 5: “Si A es simétrica, podemos seleccionar n vectores propios ortonormales, que constituyen una base ortonormal”. 34 9.2. Ejemplo a) Hallar los autovalores, forma diagonal y autovectores de la siguiente matriz: b) Demostrar que se cumplen las proposiciones anteriormente enunciadas (2, 3, 4 y 5). c) Obtener A3 y la exponencial de dicha matriz. Respectivamente, se tiene que: a) - Autovalores: Ecuación característica o secular. ·In-A= 0 ; ; si ; desarrollando el determinante, se tiene: (2+1+2)·(-2) - 4 + 8 = 0 ; 3 +  + 22 - 22 - 2 - 4 - 4 + 8 = 0 ; 3 - 7 + 6 = 0; con lo que:  = 1 Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene la ecuación de 2º grado cuya solución nos aportará las otras dos raíces características o latentes: 2 +  - 6 = 0, que ofrece las dos soluciones reales:              102 020 201 A                                         102 020 201 102 020 201 00 00 00 0 102 020 201                 101 010 101 PM c.s.q.d. , 300 020 001 101 010 101 3/203/2- 020 1/201/2 101 010 101 102 020 201 2/102/1 010 2/102/1 P·A·P 1                                                             