es de Cauchy en X: Como X es completo, existe x� 2 X tal que xk ! x� en X y, como � es continua, se tiene entonces que xk+1 = �(xk) ! �(x�) en X: Como el límite de una sucesión es único, concluímos que �(x�) = x�; es decir, x� es un punto �jo de �: Veamos ahora que es único. Si x�1 y x�2 son puntos �jos de � entonces d(x�1; x�2) = d(�(x�1); �(x�2)) � �d(x�1; x�2): Como � < 1; esta desigualdad implica que d(x�1; x�2) = 0; es decir, x�1 = x�2: Por último, haciendo tender j !1 en la desigualdad (6.3) obtenemos que d(xk; x�) = l��m j!1 d(xk; xj) � �k 1� � d(x1; x0) 8k 2 N. Esto concluye la demostración. El teorema anterior no sólo a�rma la existencia de un único punto �jo para una contracción � : X ! X. También nos dice cómo encontrarlo, o cómo encontrar una buena aproximación de él: Basta tomar un punto arbitrario x0 2 X y considerar la sucesión de iteradas (�k(x0)): Esta converge al punto �jo. La desigualdad (6.2) nos da una estimación del error en cada paso de la iteración. A este método se le conoce como elmétodo de aproximaciones sucesivas. Veremos algunas aplicaciones en las siguientes secciones. Los siguientes ejemplos muestran que las condiciones del teorema de punto �jo de Banach son necesarias. Ejemplo 6.4 La función � : (0; 1) ! (0; 1) dada por �(t) = 1 2 t es una contracción y no tiene ningún punto �jo en (0; 1): Por tanto, para la validez del Teorema 6.3 es necesario que X sea completo. Ejemplo 6.5 La función � : R! R dada por �(t) = t+ 1 satisface j�(t)� �(s)j = jt� sj 8t; s 2 R: Sin embargo, no tiene ningún punto �jo. Por tanto, para la validez del Teorema 6.3 es necesario que el número � de la condición (6.1) sea estrictamente menor que 1: Esta condición también es necesaria para la unicidad del punto �jo [Ejercicio 6.22]. La siguiente generalización del teorema de punto �jo de Banach es muy útil en las aplicaciones. Corolario 6.6 Sea X un espacio métrico completo y � : X ! X una función. Si existe k 2 N tal que �k : X ! X es una contracción, entonces � tiene un único punto �jo. Demostración: El Teorema 6.3 asegura que �k tiene un único punto �jo x� 2 X: Aplicando � a la igualdad �k(x�) = x� obtenemos que �k(�(x�)) = � � �k(x�) � = � (x�) ; es decir, �(x�) es también un punto �jo de �k: Como el punto �jo es único, obtenemos que �(x�) = x�: En consecuencia, x� es también un punto �jo de �: Y es el único, ya que todo punto �jo de � es también un punto �jo de �k: 6.2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 99 6.2. Sistemas de ecuaciones lineales Consideremos el sistema de ecuaciones lineales Ax� x = b (6.5) donde A = (aij) es una matriz real de n � n y b = (b1; : : : ; bn) 2 Rn: Observemos que x 2 Rn es una solución de este sistema si y sólo si x es un punto �jo de la función � : Rn ! Rn dada por �(x) := Ax� b: De modo que, si � es una contracción, podemos aplicar el método de aproximaciones sucesivas para encontrar una solución. El que � sea una contracción depende de la métrica que le demos a Rn: Por ejemplo, si le damos a la métrica k�k1 del Ejemplo 2.5 obtenemos el siguiente resultado. Teorema 6.7 Si existe � 2 (0; 1) tal que nX i=1 jaijj � � 8j = 1; :::; n; (6.6) entonces el sistema (6.5) tiene solución única para cada b 2 Rn: La solución x� satisface x� + k�1X m=0 Amb 1 � �k 1� � kbk1 : Demostración: Para todo x 2 Rn se tiene que kAxk1 = nX i=1 ����� nX j=1 aijxj ����� � nX i=1 nX j=1 jaijj jxjj � � nX j=1 jxjj = � kxk1 : En consecuencia, la función � : Rn1 ! Rn1 dada por �(x) = Ax� b satisface k�(x)� �(y)k1 = kAx� Ayk1 = kA(x� y)k1 � � kx� yk1 8x; y 2 Rn; es decir, � es una contracción. Por el Teorema 6.3, existe un único x� 2 Rn tal que �(x�) = Ax� � b = x�: Más aún, como �k(0) = � k�1X m=0 Amb; se tiene que x� + k�1X m=0 Amb 1 � �k 1� � kbk1 : 100 6. EL TEOREMA DE PUNTO FIJO DE BANACH Y APLICACIONES Esto concluye la demostración. Si consideramos otras métricas en Rn obtendremos condiciones, distintas de (6.6), que también garantizan la existencia y unicidad de soluciones del sistema (6.5) para cada b [Ejercicio 6.28]. Sabemos que el sistema (6.5) tiene solución única si y sólo si det(A � I) 6= 0; donde I es la matriz identidad. En consecuencia, la condición (6.5) y las del Ejercicio 6.28 garantizan que det(A � I) 6= 0: En este caso, la matriz A � I es invertible y la solución del sistema está dada por x := (A � I)�1b: Sin embargo, en problemas que involucran un número grande de variables, encontrar la inversa de una matriz tiene un costo prohibitivo, incluso con la potencia de las mejores computadoras disponibles. Por ello se utilizan métodos iterativos, como el de Jacobi o el de Gauss-Seidel, para encontrar la solución mediante aproximaciones sucesivas a partir de una estimación inicial. Para ecuaciones no lineales los métodos iterativos son, en general, la única opción. 6.3. Ecuaciones integrales Aplicaremos el teorema de punto �jo de Banach para probar la existencia y unicidad de soluciones de dos tipos de ecuaciones integrales importantes: la ecuación integral de Fredholm y la ecuación integral de Volterra. 6.3.1. La ecuación integral de Fredholm del segundo tipo Sean K : [a; b]� [a; b]! R y g : [a; b]! R funciones continuas, y sea � un número real. Una ecuación integral de la forma �f(x)� Z b a K(x; y)f(y)dy = g(x); x 2 [a; b]; (6.7) se llama una ecuación integral de Fredholm4. Se dice que es del primer tipo si � = 0 y del segundo tipo si � 6= 0. Una función continua f : [a; b]! R que satisface (6.7) para todo x 2 [a; b] se llama una solución de (6.7). Nos preguntamos, ¿para qué valores � tiene la ecuación (6.7) una única solución? Queremos expresar este problema como un problema de punto �jo. Es decir, quere- mos encontrar una función �� : C0[a; b]! C0[a; b] cuyos puntos �jos sean las soluciones de la ecuación (6.7). Para ello, procederemos del siguiente modo. A cada f 2 C0[a; b] le 4Erik Ivar Fredholm (1866-1927) fue un matemático sueco. En 1903 introdujo la teoría moderna de ecuaciones integrales, a la que se conoce como Teoría de Fredholm.