n veces a. El número a se llama base de la potencia y n es el exponente. Si a, b ∈ R y m,n ∈ N, tenemos las siguientes propiedades de la potenciac...

n veces a. El número a se llama base de la potencia y n es el exponente. Si a, b ∈ R y m,n ∈ N, tenemos las siguientes propiedades de la potenciación (P1) am+n = am · an, (P2) am·n = (am)n, (P3) (a · b)n = an · bn, (P4) (a : b)n = an : bn, si b 6= 0. Si a 6= 0, extendemos la definición de potencia para n = 0 y para potencias enteras negativas a0 = 1, a−n = (a−1)n = 1/an, para todo n ∈ N. Observación 1.4.1 (Signo de las potencias). Como consecuencia de la regla de signo para la multiplicación, podemos dar una regla para la potenciación. Si a > 0 entonces an > 0 para todo n natural. Si a < 0 entonces hay dos posibilidades: an < 0 si n es impar ó an > 0 si n es par. Por ejemplo, 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 (base positiva −→ resultado positivo) (−1)6 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1 (−3)3 = (−3) · (−3) · (−3) = −27 Ejemplo 1.4.2 Aplicando propiedades podemos simplificar la siguiente expresión 72 · (−14)−3 (10−2)3 · 54 = 72 · (−2 · 7)−3 (2 · 5)−6 · 54 = 72 · (−1)−3 · 2−3 · 7−3 2−6 · 5−6 · 54 = − 72−3 · 2−3+6 5−6+4 = −7−1 · 23 5−2 = −23 · 52 7 Para a ∈ R+ y n ∈ N, definimos la ráız n-ésima (principal) de a como el número real positivo b que verifica n √ a = b si bn = a. El valor n se llama ı́ndice de la ráız. Si a = 0 tenemos n √ 0 = 0 para todo n ∈ N, ya que 0n = 0 para n ∈ N. Si a < 0 solo existirá una ráız real n-ésima para valores de n impares. Si n es par, resulta que bn es positivo para todo b 6= 0 (ver la Observación 1.4.1) y por lo tanto, no existirán ráıces reales con ı́ndice par de números negativos. Observación 1.4.3. De la definición de ráız n-ésima resulta que, si n es par, n √ an = |a|. Por ejemplo, para a = −3 y n = 2, » (−3)2 = √ 9 = 3 = | − 3| Si a, b ∈ R+ y m,n, s ∈ N, entonces se verifican las siguientes propiedades de la radi- cación para reales positivos (R1) n √ a · b = n √ a n √ b (R2) n √ am = ( n √ a)m (R3) n » s √ a = s·n √ a (R4) n·s √ am·s = n √ am Si a < 0, las propiedades anteriores son válidas solo si consideramos ı́ndices n y s impares. Esta restricción de ı́ndices permite asegurar que cada una de las ráıces existirá. Las propiedades de la potenciación (P1), (P2), (P3) y (P4) son válidas para potencias de exponente racional siempre y cuando todos los términos existan. Como sucedió con las propiedades de ráıces, si la base es negativa las propiedades son válidas si agregamos algunas restricciones sobre los exponentes. Veamos un ejemplo. Ejemplo 1.4.5 Si las bases son positivas, entonces todas las propiedades de potencia son válidas para cualquier exponente racional. (3−1)− 1 4 · √ 3 · 53Ä 54 · 4 √ 32 ä 1 2 = 3−1·(− 1 4) · 3 1 2 · 5 3 2 54· 1 2 · 3 2 4 · 1 2 = 3 1 4 + 1 2 · 5 3