7. Dados los polinomios P (x) = x5 − 3x2 + 2x, Q(x) = −2x4 + 5x2, R(x) = 4x6 − 3x4 + x3 − 7x2 + 3x, efectuar las siguientes operaciones indicando e...

7. Dados los polinomios P (x) = x5 − 3x2 + 2x, Q(x) = −2x4 + 5x2, R(x) = 4x6 − 3x4 + x3 − 7x2 + 3x, efectuar las siguientes operaciones indicando el grado del polinomio resultante. (a) P (x)−Q(x), (b) P (x) + 3Q(x) + 5x2, (c) −3R(x)− P (x), (d) P (x) ·Q(x), (e) Q(x)2, (f) Q(x)2 + xP (x) +R(x). 8. Calcular, en cada caso, el cociente C(x) y el resto R(x) de dividir el polinomio P (x) por Q(x) y expresar cada polinomio como P (x) = Q(x) · C(x) + R(x). Cuando sea posible, aplicar la Regla de Ruffini. (a) P (x) = x4 + 3x3 − 3x+ 8 y Q(x) = x3 − x2 + x− 1, (b) P (x) = 6x7 − 2x6 − x4 + x y Q(x) = x− 1, (c) P (x) = −2x4 − 3x2 y Q(x) = x+ 3, (d) P (x) = 3x5 − x4 + 5x− 2 y Q(x) = x2 + x− 4. 9. (a) Hallar el dividendo P (x) de una división, sabiendo que el resto es R(x) = 3x2 + x, el cociente es C(x) = x3 − x y el divisor es Q(x) = x4 − 3x3 + 1. (b) Hallar el divisor Q(x) de una división de polinomios, sabiendo que el dividendo es P (x) = −x5+3x2+2x−1, el cociente es C(x) = −x3+x+3 y el resto es R(x) = x−4. 10. Determinar cuáles de los números indicados son ráıces del polinomio dado. (a) P (x) = 3x2 + 5x− 2 y los valores x = −2, x = −1 y x = 1 3, (b) P (x) = −2x3 + x2 − x− 1 y los valores x = 2, x = −1 y x = −1 2. 11. Hallar, si existen, las ráıces reales de los siguientes polinomios, indicando, en cada caso, el orden de multiplicidad. Dar una expresión factorizada de cada polinomio. (a) P (x) = 2x5 + x4 + x2, sabiendo que −1 es ráız, (b) P (x) = x5 + 2x3 + x, (c) P (x) = 8x4 − 4x3 − 10x2 + 9x− 2, sabiendo que 1 2 es ráız, (d) P (x) = (x4 − 18x2 + 81)(x5 + 4x3), (e) P (x) = (x4 − 25)(x2 + 2x+ 2), (f) P (x) = 3x4 − 9x3 + 9x2 − 3x, sabiendo que 1 es una ráız. 12. Indicar, en cada caso, un polinomio de grado mı́nimo con coeficientes reales tal que (a) tiene por ráıces x1 = 0, x2 = 3 4 , x3 = 2 3 y x4 = −1; x4 es ráız de multiplicidad dos, (b) tiene por ráıces x1 = 1 2 y x2 = 4, ambas de multiplicidad dos, = x− 2, (b) P (x) = 2x7 + 3x6 + 18x3 + 29x+ 10 y Q(x) = x+ 1, (c) P (x) = x2 − 5x+ 6 y Q(x) = x− 3, (d) P (x) = x3 − 2x2 + x+ 1 y Q(x) = x+ 1 2. 14. Determinar el valor de k para que P (x) resulte divisible por Q(x). (a) P (x) = x3 + kx2 + k + 4 y Q(x) = x− 1, (b) P (x) = kx4 − 4x3 + 16kx− 16 y Q(x) = x+ 2. 15. (a) Calcular el valor de m para que el resto de la división de P (x) = 4x4 + mx3 + 3x2 por Q(x) = x− 3 sea 324. (b) Hallar la única ráız real de P (x) = 2x3−18x2 +x−9, sabiendo que P (x) es divisible por Q(x) = 2x2 + 1. (c) Encontrar los valores de a tales que al dividir x2 + 5x− 2 por x− a el resto es igual a −8.