Autoexamen 1. El teorema del cociente-residuo dice que para todos los enteros n y d con d 0, existen q y r tal que y . 2. Si n y d son números e...

Autoexamen
1. El teorema del cociente-residuo dice que para todos los enteros n y d con d 0, existen q y r tal que y .
2. Si n y d son números enteros con d 0, n div d es y n mod d es .
3. La paridad de un entero indica si el entero es .
4. De acuerdo con el teorema del cociente-residuo, si un entero n se divide entre un número entero positivo d, los posibles residuos son . Esto implica que n se puede escribir en una de las formas para algún entero q.
5. Para demostrar que un enunciado de la forma “Si A1 o A2 o A3, entonces C ”, pruebe y y .
6. La desigualdad del triángulo dice que para todos los números reales x y y, .
Conjunto de ejercicios 4.4
Para cada uno de los valores de n y d dados en los ejercicios del 1 al 6 y encuentre los enteros q y r tales que n dq r y 0 r d.
1. n 70, d 9 2. n 62, d 7
3. n 36, d 40 4. n 3, d 11
5. n ฀45, d 11 6. n ฀27, d 8
Evalúe las expresiones de los ejercicios del 7 al 10.
7. a. 43 div 9 b. 43 mod 9
8. a. 50 div 7 b. 50 mod 7
9. a. 28 div 5 b. 28 mod 5
10. a. 30 div 2 b. 30 mod 2
11. Compruebe la exactitud de la fórmula (4.4.1) que se presenta en el ejemplo 4.4.3 para los siguientes valores de DíaT y N.
a. DíaT 6 (sábado) y N 15
b. DíaT 0 (domingo) y N 7
c. DíaT 4 (jueves) y N 12
12. Justifique la fórmula (4.4.1) para los valores generales de DíaT y N.
13. El lunes un amigo le dice que se reunirá con usted de nuevo en 30 días. ¿Qué día de la semana que va a ser?
14. Si hoy es martes, ¿qué día de la semana va a ser en 1 000 días a partir de hoy?
15. El 1 de enero 2000, fue un sábado y 2000 fue un año bisiesto. ¿Qué día de la semana será el 1 de enero 2050?
16. Supongamos que d es un entero positivo y n es un entero. Si d n, ¿a qué es igual el residuo obtenido cuando el teorema del cociente-residuo se aplica a n con el divisor d ?
H
H
17. Demuestre que el producto de dos números enteros consecutivos es par.
18. El resultado del ejercicio 17 sugiere que el segundo aparente callejón sin salida en el análisis del ejemplo 4.4.7 no puede ser un callejón sin salida después de todo. Escriba una nueva demostración del teorema 4.4.3 con base en esta observación.
19. Demuestre que para todo entero n, n2 ฀ n 3 es impar.
20. Supongamos que a es un número entero. Si a mod 7 4, ¿qué es 5a mod 7? En otras palabras, si la división de a por 7 da un residuo de 4, ¿cuál es el residuo cuando 5a se divide por 7?
21. Supongamos que b es un número entero. Si b mod 12 5, ¿qué es 8b mod 12? En otras palabras, si la división de b entre 12 da un residuo de 5, ¿cuál es el residuo cuando 8b se divide por 12?
22. Supongamos que c es un número entero. Si c mod 15 3, ¿qué es 10c mod 15? En otras palabras, si la división de c por 15 se obtiene un residuo de 3, ¿cuál es el residuo cuando 10c se divide por 15?
23. Demuestre que para todo entero n, si n mod 5 3 entonces n2 mod 5 4.
24. Demuestre que para todos los números enteros m y n, si m mod 5 2 y n mod 3 6 entonces mn mod 5 1.
25. Demuestre que para todos los números enteros a y b, si a mod 7 5 y b mod 7 6 entonces ab mod 7 2.
26. Demuestre que una condición necesaria y suficiente para un entero no negativo n será divisible por un número entero positivo d es que n mod d 0.
190 Capítulo 4 Teoría elemental de números y métodos de demostración
27. Demuestre que cualquier entero n se puede escribir en una de las tres formas
n 3q o n 3q 1 o n 3q 2
para algún entero q.
28. a. Utilice el teorema del cociente-residuo con d 3 para demostrar que el producto de cualesquiera tres números enteros consecutivos es divisible por 3.
b. Utilice la notación mod para reescribir el resultado del inciso a).
29. a. Utilice el teorema de cociente-residuo con d 3 para demostrar que el cuadrado de cualquier número entero tiene la forma 3k o 3k 1 para algún entero k.
b. Utilice la notación mod para reescribir el resultado del inciso a).
30. a. Utilice el teorema de cociente-residuo con d 3 para demostrar que el producto de dos números enteros consecutivos, tiene la forma 3k o 3k 2 para algún entero k.
b. Utilice la notación mod para reescribir el resultado del inciso a).
En los ejercicios del 31 al 33, puede utilizar las propiedades que se presentan en el ejemplo 4.2.3.
31. a. Demostrar que para todos los números enteros m y n, m n y m ฀ n son ya sean dos pares o dos impares.
b. Encuentre todas las soluciones a la ecuación m2 ฀ n2 56 en la que tanto m como n son números enteros positivos.
c. Encuentre todas las soluciones a la ecuación m2 ฀ n2 88 en la que tanto m como n son enteros positivos.
32. Dados los números enteros cualesquiera a, b y c, si a ฀ b es par y b ฀ c es par, ¿qué puede decir acerca de la paridad de 2a ฀ (b c)? Demuestre su respuesta.
33. Dados los números enteros cualesquiera a, b y c, si a ฀ b es impar y b ฀ c es par, ¿qué puede decir acerca de la paridad de a ฀ c? Demuestre su respuesta.
34. Dado cualquier número entero n, si n 3, podría n, n 2 y n 4 ser primo? Demuestre o dé un contraejemplo.
Demuestre cada uno de los enunciados en los ejercicios del 35 al 46.
35. La cuarta potencia de cualquier número entero tiene la