3, entonces P(1) es verdadero. Demostración que para cualquier entero k 1, si P(k) es verdadera entonces P(k 1) es verdadera: Suponga que k es cual...

3, entonces P(1) es verdadero. Demostración que para cualquier entero k 1, si P(k) es verdadera entonces P(k 1) es verdadera: Suponga que k es cualquier entero con k 1 y 1 1 3 1 3 5 1 (2k ฀ 1)(2k 1) = k 2k 1 P(k) hipótesis de inducción Debemos demostrar que 1 1 ·3 + 1 3 ·5 + · · · + 1 (2(k + 1) − 1)(2(k + 1) + 1) = k + 1 2(k + 1) + 1. o equivalentemente 1 1 ·3 + 1 3 ·5 + · · · + 1 (2k + 1)(2k + 3) = k + 1 2k + 3. ↑ P(k + 1) 5.3 Soluciones y sugerencias para los ejercicios seleccionados A-35 temática): Para el enunciado dado, la propiedad es la frase “5n ฀ 1 es divisible por 4”. Demostración de que P(0) es verdadero: P(0) es la frase “50 ฀ 1 es divisible por 4”. Pero 50 ฀ 1 1 ฀ 1 0 y 0 es divisible por 4 porque 0 4 0. Entonces P(0) es verdadero. Demostración de que para todos los enteros k 0, si P(k) es verdadero entonces P(k 1) también es verdadero: Sea k cualquier entero con k 0 y suponga que P(k) es verdadera. Es decir, supóngase que 5k ฀ 1 es divisible por 4. [Esta es la hipótesis de inducción.] Debemos demostrar que P(k 1) es verdadera. Es decir, debemos demostrar que 5k 1 ฀ 1 es divisible por 4. Ahora 5k+1 − 1 = 5k ·5 − 1 = 5k · (4 + 1) − 1 = 5k ·4 + (5k − 1). (*) Por la hipótesis de inducción 5k ฀ 1 es divisible entre 4 y enton- ces 5k ฀ 1 4r para algún entero r. Sustituyendo en la ecua- ción (*), 5k 1 ฀ 1 5k 4 4r 4(5k r). Pero 5k r es un entero porque k y r son enteros. Así que, por definición de divisibilidad, 5k 1 ฀ 1 es divisible por 4 [que era lo que se quería demostrar]. Una demostración alternativa del paso inductivo va como sigue: Suponga que para algún entero k 0, 5k ฀ 1 es divisible por 4. Entonces 5k ฀ 1 4r para algún entero r y así 5k 4r 1. Se tiene que 5k 1 5k 5 (4r 1) 5 20r 5. Restando 1 en ambos lados se obtiene 5k 1 ฀ 1 20r 4 4(5r 1). Pero 5r 1 es un entero y así, por definición de divisibilidad, 5k 1 ฀ 1 es divisible por 4. 11. Demostración (por inducción matemática): Para el enunciado dado, la propiedad P(n) es la frase “32n ฀ 1 es divisible por 8”. Demostración de que P(0) es verdadero: P(0) es la frase “32 0 ฀ 1 es divisible por 8”. Pero 32 0 ฀ 1 1 ฀ 1 0 y 0 es divisible por 8 porque 0 8 0. Así P(0) es verdadera. Demostración de que para todos los enteros k 0, si P(k) es verdadero entonces P(k 1) también es verdadero: Sea k cualquier entero con k 0 y supóngase que P(k) es verda- dero. Es decir, que 32k ฀ 1 es divisible por 8. [Esta es la hipótesis de inducción.] Debemos demostrar que P(k 1) es verdadero. Es decir, debemos demostrar que 32(k 1) ฀ 1 es divisible por 8, o equivalentemente, 32k 2 ฀1 es divisible por 8. Ahora 32k+2 − 1 = 32k ·32 − 1 = 32k ·9 − 1 = 32k · (8 + 1) − 1 = 32k ·8 + (32k − 1) · (*) Por la hipótesis inductiva 32k ฀ 1 es divisible por 8 y entonces 32k ฀ 1 8r para algún entero r. Sustituyendo en la ecuación (*), 32k 2 ฀ 1 32k 8 8r 8(32k r). Pero 32k r es un entero porque k y r son enteros. Por tanto, por definición de divisibilidad, 32k 2 ฀ 1 es divisible por 8 [que era lo que se quería demostrar]: 13. Sugerencia: x k+1 − yk+1 = x k+1 − x · yk + x · yk − yk+1 = x ·(x k − yk) + yk ·(x − y) 14. Sugerencia 1:(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 − k − 1 = (k3 − k) + 3k2 + 3k = (k3 − k) + 3k(k + 1) Sugerencia 2: k(k 1) es el producto de dos enteros consecuti- vos. Por el teorema 4.4.3, uno debe ser par. 16. Demostración (por inducción matemática): Para el enunciado dado, permitamos que la propiedad P(n) sea la desigualdad ¡2n (n 1)! Demostración de que P(2) es verdadera: P(2) dice que ¡22 (2 1)! El lado izquierdo es 22 4 y el lado derecho es 3! 6. Así, como 4 6, entonces P(2) es verdadera. Demostración de que para todos los enteros k 2, si P(k) es verdadero entonces P(k 1) también es verdadero: Sea k cualquier entero con k 2 y supongamos que P(k) es verdadero. Es decir, supóngase que 2k (k 1)! [Esta es la hipótesis de inducción.] Debemos demostrar que P(k 1) es verdadero. Es decir, debemos demostrar que 2k 1 ((k 1) 1)!, o, equivalentemente, 2k 1 (k 2)! Por las leyes de los exponentes y la hipótesis de inducción 2k 1 2 2k 2(k 1)! (*) Como k 2, entonces 2 k 2 y así 2(k 1)! (k 2)(k 1)! (k 2)! (**) La combinación de (*) y (**) da 2k 1 (k 2)! [que era lo que se quería demostrar]. 19. Demostración (por inducción matemática): Para el enunciado dado, aceptemos que la propiedad P(n) sea la desigualdad n2 2n. Demostración de que P(5) es verdadera: P(5) dice que 52 25. Pero 52 25 y 25 32 y 25 32. Entonces P(5) es verdadera. Demostración de que para cualquier entero k 5, si P(k) es verdadero entonces P(k 1) también es verdadero. Sea k cualquier entero con k 5 y aceptemos que P(k) es ver- dadero. Es decir, supóngase que k2 2k. [Esta es la hipótesis de inducción.] Debemos demostrar que P(k 1) es verdadero. Es decir, debemos demostrar que (k 1)2 2k 1. Pero (k 1)2 k2 2k 1 2k 2k 1 por hipótesis de inducción. También, por la proposición 5.3.2, 2k 1 2k la Prop. 5.3.2 se aplica porque k 5 3. Juntando estas desigualdades se obtiene (k 1)2 2k 2k 1 2k 2k 2k 1 [que era lo que se quería demostrar]. 24. Demostración (por inducción matemática): Para el enunciado dado, dejemos que P(n) sea la ecuación an 3 7n฀1. Demostración de que P(1) es verdadero: El lado izquierdo de P(1) es a1, que es igual a 3 por definición de la sucesión. El lado derecho es 3 71฀1 3. Así P(1) es verdadera. Demostración de que para todos los enteros k 1, si P(k) es verdadero entonces P(k 1) también es verdadero: Sea k un