I is reflexiva: [Debemos demostrar que para todos los enunciados p, p I p.] Suponga que p es un enunciado. La única forma en que un enunciado condi...

I is reflexiva: [Debemos demostrar que para todos los enunciados p, p I p.] Suponga que p es un enunciado. La única forma en que un enunciado condicional pueda ser falso es que su hipótesis sea verdadera y su conclusión falsa. Considere el enunciado p p. La hipótesis y la conclusión tienen el mismo valor verdadero. Así es imposible que p p sea falso y entonces p p debe ser verdadero. I no es simétrica: I es simétrica para todos los enunciados p y q, si p I q entonces q I p. Por definición de I, esto significa que todos los enunciados p y q, si p q entonces q p. Que es falso. Como un contraejemplo, sea p el enunciado “10 es divisible por 4” y q sea “10 divisible por 2”. Entonces p q es el enunciado “si 10 es divisible por 4, entonces 10 es divisible por 2”. Esto es verdadero porque su hipótesis, p, es falsa. Por otro lado, q p es el enunciado “si 10 es divisible entre 2, entonces 10 es divisible por 4”. Esto es falso porque su hipótesis, q, es verdadera y su conclusión, p, es falsa. I es transitiva: [Debemos demostrar que para todos los enunciados p, q, y r, si p I q y q I r entonces p I r.] Suponga que p, q y r son enunciados tales que p I q y q I r. Por definición de I, esto implica que p q y q r son verdaderos. Por transitividad de si-entonces (ejemplo 2.3.6 y el ejercicio 20 de la sección 2.3), podemos concluir que p r es verdadero. Así que, por definición de I, p I r.