Demostración: Suponga que f es una función valuada en los reales, de una variable real y es decreciente sobre un conjunto S y M es cualquier número...

Demostración: Suponga que f es una función valuada en los reales, de una variable real y es decreciente sobre un conjunto S y M es cualquier número real positivo. [Debemos demostrar que Mf es decreciente en S. En otras palabras, debemos demostrar que para todo x1 y x2 en S, si x1 x2 entonces (Mf )(x1) (Mf )(x2).] Suponga que x1 y x2 están en S con x1 x2. Como f es decreciente en S, entonces f (x1) f (x2) y al ser M positivo resulta que Mf (x1) Mf (x2) [porque cuando ambos lados de una desigualdad se multiplican por un número positivo, la dirección de la desigualdad queda inalterada]. Por definición de Mf se tiene que (Mf )(x1) (Mf )(x2) [que era lo que se quería demostrar].