Demostración: Suponga que f y g son funciones valuadas en los reales, de una variable real, que están definidas sobre el mismo conjunto de números ...

Demostración: Suponga que f y g son funciones valuadas en los reales, de una variable real, que están definidas sobre el mismo conjunto de números reales no-negativos y acepte que g(x) es O( f (x)). Por definición de la O-notación, existen números reales positivos b1, B1, b2 y B2, tales que f (x) B1 h(x) para todos los números reales x b1 y g(x) B2 k(x) para todos los números reales x b2. Para cada x en D, definimos G(x) máx( h(x) , k(x) ) y sea b máx(b1, b2) con B B1 B2. Observe que la desigualdad del triángulo para el valor absoluto (teorema 4.4.6) implica que | f (x) + g(x)| ≤ | f (x)| + |g(x)| para todos los números x en D. Suponga que x b. Entonces como b es mayor que b1 y b2, f x B1 h x y g x B2 h x así, sumando las desigualdades (apéndice A, T26), obtenemos | f (x)| + |g(x)| ≤ B1|h(x)| + B2|k(x)|. Entonces, por la ley transitiva para desigualdades (apéndice A, T18), | f (x) + g(x)| ≤ B1|h(x)| + B2|k(x)|. Ahora bien, como cada valor de G(x) G(x) es mayor o igual que h(x) y k(x) , B1|h(x)| + B2|k(x)| ≤ B1|G(x)| + B2|G(x)| ≤ (B1 + B2)|G(x)|. Así que, otra vez por transitividad y B B1 B2, f (x) g(x) B G(x) para todos los números reales x b. Por tanto, por definición de la O-notación, f (x) g(x) es O(G(x)).