Demostraremos por inducción matemática fuerte que la siguiente propiedad, P(n), es verdadera para todos los enteros n 2: an 1 2[log n]. Demostra...

Demostraremos por inducción matemática fuerte que la siguiente propiedad, P(n), es verdadera para todos los enteros n 2: an 1 2[log n]. Demostración de que P(1) es verdadera: P(1) es la ecuación 1 2[log2 1] 1 2.0 1, que es el valor de a1. Demostración de que para cualquier entero k 1, si P(i) es verdadera para todos los enteros i de 1 a k, entonces P(k 1) también es verdadera: Sea k cualquier entero con k 1 y suponga ai 1 2[log2 i] para todos los enteros i de 1 a k. [Esto es la hipótesis de inducción.] Debemos demostrar que ak 1 1 2 [log2(k 1)]. Caso 1 (k es impar): En este caso k 1 es par y ak 1 a k 1 2 2 por la definición recursiva de a1 a2 a3 a k 1 2 2 porque k + 1 es par (teorema 4.5.2) 1 2 log2 k 1 2 2 por la hipótesis de inducción 3 2 log2 k 1 ฀ log2 2 por el teorema 7.2.1(b) 3 2 log2 k 1 ฀ 1 porque log2 2 = 1 3 2 log2 k 1 1 porque para todos los número reales x, x ฀ 1 x 1 por el ejercicio 15, sección 4.5 1 2 log2 k 1 por álgebra. Caso 2 (k es par): En este caso k 1 es impar y ak 1 a k 1 2 2 por la definición recursiva de a1 a2 a3 a k 2 2 por el teorema 4.5.2 ya que k + 1 es impar, 1 2 log2 k 2 2 por la hipótesis de inducción 3 2 log2 k ฀ log2 2 por el teorema 7.2.1(b) 3 2 log2 k ฀ 1 porque log2 2 1 3 2 log2 k 1 porque para todos los números reales por el ejercicio 15, sección 4.5, x, x ฀ 1 x 1 1 2 log2 k por álgebra 1 2 log2 k 1 por la propiedad 11.4.3 Entonces, en cualquier caso, ak 1 1 2 [log2(k 1)] [que era lo que se quería demostrar].