1.4 La magnitud de un número complejo En esta sección vamos a definir la extensión del concepto de valor absoluto en los números reales, al campo d...

1.4 La magnitud de un número complejo
En esta sección vamos a definir la extensión del concepto de valor absoluto en los números reales, al campo de los números complejos. Recordemos que geométricamente, el valor absoluto de un número real representa la distancia del punto al origen, considerando la distancia siempre no negativa (observa la Fig. 1.6). Así, por ejemplo, la distancia del punto −3.5 al origen es igual a |−3.5| = 3.5 y la del punto ubicado en la coordenada 3 es |3| = 3. Figura 1.6 valor absoluto de un número. En el caso de los números complejos, ya que también se representan como puntos en el plano complejo, definimos su magnitud como su distancia al origen. Es decir, si = (????, ????) es un número complejo, la magnitud o módulo de ????, denotada por |????|, se define como |z| = √????2 + ????2 Esta magnitud se ha calculado aplicando el teorema de Pitágoras (ver la Fig. 1.7) Fig. 1.7 Magnitud de un número complejo. Observa que ????∙????̅ = (???? + ????????)(???? − ????????) = ????2 + ????2 = |????|2 es decir, |z| = √????∙????̅ Para el estudio que realizaremos a continuación, consideraremos a los números complejos también como vectores con punto inicial el origen y punto terminal el punto correspondiente al número complejo ???? = (????, ????), como puede observarse en la Fig. 1.8. Figura 1.8 Magnitud de un número complejo. 30 Algunas propiedades de la magnitud de un número complejo se enuncian a continuación. Para cualesquiera números complejos ????, ???? ∈ ℂ y cualquier número ???? ∈ ℝ, M1 |????| ≥ 0 M2 −|????| ≤ ???????? ???? ≤ |????| y −|????| ≤ ???????? ???? ≤ |????| M3 |????| = |????̅| M4 |???? + ????| ≤ |????| + |????| M5 |????| − |????| ≤ |???? − ????| M6 |????∙????| = |????||????| M7 | ???? ???? | = |????| |????| , si ???? ≠ 0 M8 |????∙????| = |????||????| (|????| denota al valor absoluto de ????) La propiedad M4 se llama desigualdad del triángulo por su significado geométrico vinculado a la suma de vectores en el plano (Fig. 1.9). Figura 1.9 Representación de la desigualdad del triángulo. 31 Demostración de M1: |????| = √????2 + ????2 ≥ 0 Dado que la magnitud de un número complejo se considera un número no negativo. Demostración de M2: Como es verdadero que ????2 ≤ ????2 + ????2, entonces −√????2 + ????2 ≤ ???? ≤ √????2 + ????2, es decir, −|????| ≤ ???????? ???? ≤ |????|. Análogamente se demuestra la otra desigualdad de M2. Demostración de M3: Desarrollando el módulo de ???? |????| = |???? + ????????| = √????2 + ????2 = √????2 + (−????)2 = |???? − ????????| = |????̅| Demostración de M4: Más que probar la desigualdad original, probaremos que |???? + ????|2 ≤ (|????| + |????|)2 |???? + ????|2 = (???? + ????)∙(???? + ????)̅ = (???? + ????)∙(????̅ + ?̅?) = ????∙????̅ + ????∙?̅? + ????∙?̅? + ????∙?̅? = (1) pero ?????̅?̅ = ????̅? = ????̅???? = ????????̅, entonces (1) = |????|2 + ????∙?̅? + ????∙?̅? = |????|2 + 2 Re ????∙?̅? + |????|2 ≤ |????|2 + 2|????∙?̅?| + |????|2 = |????|2 + 2|????||?̅?| + |????|2 = (2) Pero por la propiedad M3, |????| = |?̅?| por lo que (2) = |????|2 + 2|????||????| + |????|2 = (|????| + |????|)2 Por lo tanto, |???? + ????|2 ≤ (|????| + |????|)2