(llamado determinante caracteŕıstico o secular) es: ∣ ∣ ∣ ∣ m1λ2 + k1 + k2 −k2 −k2 m2λ2 + k2 + k3 ∣ ∣ ∣ ∣= 0. Consideremos el caso sencillo en que...

(llamado determinante caracteŕıstico o secular) es:
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m1λ2 + k1 + k2 −k2
−k2 m2λ2 + k2 + k3
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∣= 0.
Consideremos el caso sencillo en que m1 = m2 = m, k1 = k2 = k3 = k. Entonces tenemos una ecuación de cuarto grado con cuatro valores para
λ1± = ±i
√3k/m = ±iω1, λ2±− = ±i
√k/m = ±iω2, donde ω1 y ω2 se denominan frecuencias naturales, caracteŕısticas o normales de vibración del sistema. La solución general será:
x1(t) = C1 cosω1t+C2 senω1t+C3 cosω2t+C4 cosω2t = E1 cos(ω1t+φ1)+E2 cos(ω2t+φ2) y x2(t) puede ser hallado despejando de la primera ecuación en (2.26), obteniendo:
x2(t) = C1 cosω1t+ C2 senω1t− C3 cosω2t− C4 cosω2t. Las 4 constantes C1,2,3,4 (o también E1, E2, φ1, φ2) se determinan con las condiciones iniciales: desplazamiento inicial x1(0) y x2(0), respecto a la posición de equilibrio, y velocidad inicial ẋ1(0) y ẋ2(0) de ambas masas. Existen dos “movimientos básicos” o modos normales de vibración asociados a cada frecuencia normal ωi, i = 1, 2. Para determinar el modo normal correspondiente a ω = ω1, se sustituye ésta en (2.27) y se encuentra que A1 = A2. En este caso, el modo normal de vibración corresponde pues al movimiento de las masas en la misma dirección (es decir, ambas a la derecha y ambas a la izquierda y aśı sucesivamente); se denomina modo simétrico (véase figura 2.26). Aśı, para “activar´´ este modo, las condiciones iniciales deben ser: x1(0) = x2(0) y ẋ1(0) = ẋ2(0). Similarmente encontramos el modo normal correspondiente a ω = ω2, para el cual A1 = −A2. En este caso el modo normal de vibración corresponde al movimiento de las masas en direcciones opuestas: modo antisimétrico (véase figura 2.27). Para para “activar” este modo, las condiciones iniciales deben ser: x1(0) = −x2(0) y ẋ1(0) = −ẋ2(0). Cualesquiera otras condiciones iniciales dan lugar a una superposición de ambos modos (simétrico y antisimétrico). Nótese que, ya que la enerǵıa de un oscilador es proporcional a su frecuencia al cuadrado, el modo antisimétrico tiene más enerǵıa que el simétrico. Esto es intuitivo, ya que en el caso antisimétrico los tres muelles están en “tensión”, mientras que en simétrico, el muelle central juega el mismo papel que una barra ŕıgida (no acumula enerǵıa elástica). En otras palabras, cuesta más excitar el modo antisimétrico que el simétrico. Ejercicio 2.6.1. Determinar los modos normales para k1 = k2 = k3 = k pero m1 6= m2. ¿Qué pasa cuando m1 >> m2?. � Ejercicio 2.6.2. Repetir el problema para masas y constantes elásticas iguales añadiendo una fuerza externa F2(t) = cos(3t) que actúa sobre la masam2. ¿Existe resonancia si k = 3 y m = 1? � Ejercicio 2.6.3. Determinar la ecuación caracteŕıstica para el caso de masas y constantes elásticas iguales añadiendo ahora un amortiguador que ejerce una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad Fr = 0,1ẋ sobre la masa m1. � Ejercicio 2.6.4. (Absorbedor de vibraciones). Plantear las ecuaciones diferenciales y escribir la ecuación caracteŕıstica del problema, en el caso general de constantes elásticas y masas distintas, cuando se elimina la pared derecha y sobre la masa m1 actúa un amor-tiguador y una fuerza externa F1(t) = cos(ωt) (“terremoto”). Esto se conoce como un “absorbedor de vibraciones”, donde la pared izquierda es el suelo (ǵırese la figura 90 grados en sentido antihorario), m1 hace de equipo o mesa de trabajo y m2 absorbe la vibración inducida por F1(t). Demuestre que, para el caso no amortiguado, la amplitud A1 de la respuesta forzada x1 = A1 cos(ωt+ φ1) (solución particular) es cero siempre que ω =√k2/m2. O sea, que bajo una vibración de frecuencia√k2/m2, la masa m2 absorbe la vibración y el equipo (m1) no se mueve. � Ejercicio 2.6.5. (Práctica de ordenador). Considere un sistema de tres bloques de masasm1 = m2 = m3 = 1 conectados entre śı y a dos paredes por medio de cuatro resortes de constantes iguales k = 1. Determinar las frecuencias naturales, los modos normales de vibración y las condiciones iniciales que se deben proporcionar para activar dichos modos normales. Nota: consulta la página 150 de la referencia [5]. � Ejercicio 2.6.6. (Práctica de ordenador). (Vibraciones inducidas por terremotos en edificios de muchos pisos) Considere un bloque de 7 pisos en el que las oscilaciones transversales del terreno inducen un movimiento horizontal en cada uno de sus pisos, de forma que el piso número i está acoplado a el i + 1 y al i − 1 mediante la ecuación miẍi = k(xi+1 − xi)− k(xi − xi−1). Cada piso pesa m = 16 toneladas y existe una fuerza horizontal interna restauradora entre cada piso con constante elástica k = 160 Ton/dm. Se pide:
1. Calcular las frecuencias naturales usando un programa informático como Mathema-tica.
2. Si ordenamos las frecuencias de mayor a menor, ¿Qué modo es el que entraŕıa en resonancia si hay un temblor de tierra con frecuencia ω ≈ 2seg−1? (en este caso, el edificio probablemente se derrumbaŕıa...).
3. ¿Existe peligro de derrumbamiento para un temblor de tierra con frecuencia ω ≈ 7seg−1?.
Una gúıa: la frecuencia natural más pequeña es ω7 = 0,6611 y la más grande es ω1 = 6,1863seg−1 ¿cuál es el resto?. �