+ dx)/∂x b b dx dy ~T ~T ds Figura 7.1: Cuerda vibrante de longitud ds y masa dm = ρds (ρ denota la densidad lineal de masa) son T cos θ′ − T cos θ...

+ dx)/∂x
b
b
dx
dy
~T
~T
ds
Figura 7.1: Cuerda vibrante
de longitud ds y masa dm = ρds (ρ denota la densidad lineal de masa) son
T cos θ′ − T cos θ = dmẍ,
T sen θ′ − T sen θ = dmÿ, (7.1)
respectivamente en el eje X y en el eje Y . Supondremos que no hay desplazamiento en el
eje X , con lo cual ẍ = 0. También supondremos ángulos θ ≪ 1 pequeños (desplazamientos
pequeños de la cuerda respecto de la horizontal) y usaremos las aproximaciones cos θ ≃ 1,
sen θ ≃ tan θ = y′(x) con lo cual, la ecuación de Newton (7.1) en el eje Y queda:
T
∂y(t, x+ dx)
∂x
− T ∂y(t, x)
∂x
= dm
∂2y(t, x)
∂t2
.
Además, a primer orden de aproximación, tenemos también que ∂y(t,x+dx)
∂x
= ∂
∂x
(y(x) +
∂y(t,x)
∂x
dx y que ds =
√
1 + y′2dx ≃ dx, con lo cual simplificando nos queda
T
∂2y(t, x)
∂x2
= ρ
∂2y(t, x)
∂t2
.

7.1. Ecuación de ondas: cuerdas, vigas y membranas vibrantes 125
Definiendo v2 = T/ρ (comprobar que v tiene dimensiones de velocidad), nos queda final-
mente la ecuación de las oscilaciones verticales de una cuerda
∂2y(t, x)
∂t2
= v2
∂2y(t, x)
∂x2
. (7.2)
A esta EDP hay que añadirle las
condiciones de contorno: y(t, 0) = 0 = y(t, ℓ), (7.3)
que significan que los extremos de la cuerda permanecen fijos, sujetos al eje X en los
puntos x = 0 y x = ℓ. Además, existen también
condiciones iniciales: y(t, x)|t=0 = y0(x),
∂y(t, x)
∂t
∣
∣
∣
∣
t=0
= ẏ0(x), (7.4)
que establecen el perfil inicial y0(x) que adopta la cuerda en cada punto x y su veloci-
dad inicial ẏ0(x). Esta es la versión continua de la cuerda discreta discutida en (2.28) y
que interpreta la ecuación de ondas como un sistema “grande” de osciladores acoplados,
aproximando la derivada segunda por
∂2y(t, x)
∂x2
≃ (y(t, x− h)− 2y(t, x) + y(t, x+ h)/h2.
Los métodos de discretización, que sustituyen un conjunto de Rn por un ret́ıculo de
espaciado h pequeño, consiguen aproximar en general la EDP por un sistema grande (pero
no infinito) de EDOs. También puede discretizarse el tiempo, resultando en un sistema
algebraico de ecuaciones lineales. Existen otros métodos de reducción de una EDP a un
sistema algebraico, como el Método de los Elementos Finitos, muy popular en ingenieŕıa
pero imposible de abordar aqúı. La ecuación de ondas es lineal y homogenea y puede
abordarse por el método de separación de variables y series de Fourier explicado en el
tema anterior.

Separación de variables y método de Fourier

Ensayemos una solución del tipo y(t, x) = T (t)X(x), que introducida en (7.2) nos lleva
a
X ′′(x)
X(x)
= α =
T̈ (t)
v2T (t)
, (7.5)
donde α es una constante. Nosotros consideraremos solo el caso α = −k2 negativo, donde
la constante k se denomina número de ondas, que lleva a soluciones oscilatorias no triviales.

Ejercicio 7.1.1. Pruébese con constante α ≥ 0 y véase que la única solución compatible
con las condiciones de contorno es la trivial y = 0.


126 Caṕıtulo 7. Las ecuaciones de ondas, del calor y de Laplace
Las soluciones de ambas ecuaciones son
X ′′(x)− k2X(x) = 0 ⇒ X(x) = A cos kx+B sen kx, (7.6)
T̈ (t)− v2k2T (t) ⇒ T (t) = C cos vkt+D sen vkt. (7.7)
La condición de contorno (7.3) se escribe X(0) = 0 = X(ℓ), que implica A = 0 y los
valores propios k = kn = nπ/ℓ, de manera que las funciones propias (o modos normales
de oscilación) son Xn(x) = Bn sen knx. Nótese que n representa el número de nodos
(“armónicos”) de la onda Xn. Para la parte temporal tenemos Tn(t) = Cn cosωnt +
Dn senωnt, donde ωn = vkn se denominan frecuencias propias de oscilación. La solución
general se escribe como un desarrollo en funciones propias
y(t, x) =
∞∑
n=1
Tn(t)Xn(x) =
∞∑
n=1
(An cosωnt+Bn senωnt) sen knx. (7.8)
Las constantes An y Bn se obtienen a partir de las condiciones iniciales y las propiedades
de ortogonalidad estudiadas para las series de Fourier en la sección (6.3.1), en particular
∫ ℓ
0
sen(
πn
ℓ
x) sen(
πm
ℓ
x)dx =
ℓ
2
δn,m (7.9)
En efecto, multiplicando en (7.8) y su derivada por sen(kmx) e integrando obtenemos
y(0, x) =
∞∑
n=1
An sen knx = y0(x) ⇒ An =
2
ℓ
∫ ℓ
0
y0(x) sen knxdx, (7.10)
∂y(0, x)
∂t
=
∞∑
n=1
ωnBn sen knx = ẏ0(x) ⇒ Bn =
2
ωnℓ
∫ ℓ
0
ẏ0(x) sen knxdx, (7.11)
Ejercicio 7.1.2. Cuerda pulsada. Obtener la solución general para una cuerda de longitud
L pulsada en su centro y que parte del reposo, como la de la figura 7.2.
1. ¿Qué armónico n0 domina sobre los demás?, es decir, ¿cuándo |An0 | > |An|, ∀n.?
2. ¿Cómo habrá que pulsar la cuerda para estimular el armónico n = 2 como modo
dominante?, es decir, ¿qué tipo de condición inicial lineal a trozos hace que |A2| >
|An|, ∀n.
3. ¿Qué tipo de condición inicial lineal a trozos estimula el armónico n = 3 como modo
dominante?.
Ejercicio 7.1.3. Vibraciones longitudinales de una varilla. La ecuación de movimiento
para las vibraciones longitudinales de una varilla de densidad ρ, longitud L y módulo de
Young E es:
∂2u(x, t)
∂t2
=
E
ρ
∂2u(x, t)
∂x2
Obtener la solución general para las vibraciones de una varilla con una pequeña masa m
en su extremo con condiciones iniciales: