+ 2m− n(n+ 1) = 0 que conduce a m = ±n (es por esto que se ha elegido escribir λ = n(n + 1)). La solución general es ρ(r) = c1r n + c2r−n. Tomarem...

+ 2m− n(n+ 1) = 0 que conduce a m = ±n (es por esto que se ha elegido escribir λ = n(n + 1)). La solución general es ρ(r) = c1r
n + c2r−n.
Tomaremos c2 = 0 ya que r−n no está definida en el origen r = 0.

136 Caṕıtulo 7. Las ecuaciones de ondas, del calor y de Laplace

2. La parte angular conduce a la ecuación sen θΘ′′ + cos θΘ′ + λ sen θΘ = 0. Haciendo
el cambio de variable q = cos θ y Θ(arc cos q) = P (q), se puede comprobar que se
llega a la ecuación de Legendre (4.4) en la variable q, es decir

(1− q2)P ′′ − 2qP ′ + n(n + 1)P = 0
cuyas soluciones son los polinomios de Legendre (4.7).

Las soluciones básicas son entonces Tn(r, θ) = Anr
Pn(cos θ) y la solución general T (r, θ) =
∑∞
n=0 Tn(r, θ). Haciendo uso de las relaciones de ortogonalidad (4.8) entre polinomios de

Legendre y de la condición de contorno T (R, θ, φ) = ψ(θ), se pueden calcular los coefi-
cientes An mediante la integral

An =
2n+ 1
2Rn
∫ π
0
ψ(θ)Pn(cos θ) sen θdθ. (7.30)

7.3. Ecuación de Laplace

Existen numerosos problemas en f́ısica que conducen a la resolución de la ecuación
de Laplace ∆Φ(x, y, z) = 0, donde ∆ denota el operador laplaciano, en un determinado
volumen Ω con frontera ∂Ω y con condiciones de contorno de tipo Dirichlet Φ|∂Ω =
Ψ(m), m ∈ ∂Ω o de tipo Neumann ∂Φ
∂~n
|∂Ω = Ψ̄(m), m ∈ ∂Ω. Por ejemplo, ya hemos

estudiado en la sección anterior el problema de la distribución estacionaria de temperatura
Φ = T en un cuerpo homogéneo que ocupa una región Ω con frontera ∂Ω, donde las
condiciones de contorno de tipo Neuman se corresponden con bordes aislados, como en el
ejercicio 7.2.4. Otros problemas descritos por la ecuación de Laplace son también:

1. La distribución de presión Φ = P en un fluido en los casos de flujo irrotacional
~∇ × ~V = ~0 e incompresible ~∇ · ~V = 0 y “filtración” ~V = −κ
ρ
~∇P , donde κ es el
“coeficiente de permeabilidad”. La ecuación de continuidad lleva a ∆P (x, y, z) = 0.

2. El potencial de una corriente eléctrica estacionaria ⇒ ~∇ · ~J = 0, que junto con
~∇× ~E = ~0⇒ ~E = ~∇ϕ y la ley de Ohm ~J = σ ~E nos lleva a ∆ϕ = 0

Caṕıtulo 8

Introducción a los problemas de
Sturm-Liouville

Bibliograf́ıa: Ver Caṕıtulo 10.5 de [1] y Caṕıtulo 11 de [2]

137


138 Caṕıtulo 8. Introducción a los problemas de Sturm-Liouville


Parte IV

Apéndices

139



Apéndice A

Demostración del Teorema de Picard

141



142 Apéndice A. Demostración del Teorema de Picard

Teorema A.0.1. Teorema de Picard. Si en la ecuación

y(n) = f(x, y, y′, y′′, . . . , y(n−1)). (A.1)
la función f(x, y, y′, y′′, . . . , y(n−1)) y sus derivadas parciales ∂yf, ∂y′f, . . . , ∂y(n−1)f son
continuas en un cierto dominio Ω = Eh(x0) × Br(~z0), donde Eh(x0) = [x0 − h, x0 + h]
y Br(~z0) ⊂ Rn es la bola cerrada de radio r y centro ~z0 = (y0, y
′
0, . . . , y
(n−1)
0 ), existe una
solución única y = y(x) de la ecuación (A.1) que satisface las condiciones:

y(x0) = y0, y
′(x0) = y′0, . . . , y
(n−1)(x0) = y
(n−1)
0 , (A.2)
definida en el intervalo Ea(x0), donde a ≤ mı́n{h, r/M} y M = sup{‖~f(x, ~z)‖ : (x, ~z) ∈
Ω}.

Las condiciones (A.2) se llaman condiciones iniciales, y el problema se denomina
problema de valor inicial o de Cauchy, por contraposición al problema de valor en la
frontera.
Demostración: Las directrices a seguir para la prueba del teorema se apoyan en elmétodo
de las aproximaciones sucesivas de Picard, que proporciona también una ĺınea de ataque
para la resolución de EDOs de forma iterativa. La clave del método consiste en advertir
que si ~z(x) es una función continua en el intervalo Eh(x0), entonces ésta es solución del
problema de Cauchy

~z′(x) = ~f(x, ~z(x)), ~z(x0) = ~z0, (A.3)
si y sólo si cumple la ecuación integral

~z(x)− ~z0 =
∫ x
x0
~f(t, ~z(t))dt, (A.4)
para cada x ∈ Eh(x0). En efecto, si ~z(x) es solución de (A.3) entonces

~z(x)− ~z0 = ~z(x)− ~z(x0) =
∫ x
x0
~z′(t)dt =
∫ x
x0
~f(t, ~z(t))dt.
Rećıprocamente, si si ~z(x) es una función continua que verifica (A.4), entonces ~z(x0) = ~z0;
además (A.4) implica que ~z(x) es derivable y su derivada es

~z′(x) = ~f(x, ~z(x)).
Parece ahora plausible suponer que si definimos la sucesión de funciones {~zn}∞n=0 mediante

~zm+1(x)− ~z0 =
∫ x
x0
~f(t, ~zm(t))dt, x ∈ Ia (A.5)
comenzando por la función constante ~z0(x) ≡ ~z0, dicha sucesión convergerá a la solución
buscada. En efecto, veamos que dicha iteración {~zn}∞n=0 converge uniformemente a la

solución ~z(x) siempre que ~f(x, ~z) y ∂zk
~f(x, ~z), k = 0, 1, . . . n − 1 estén acotadas en el

143

recinto cerrado Ω, lo cual se cumple efectivamente al ser ambas continuas por hipótesis
(teorema de Weierstrass). Es decir, la continuidad de ~f y ∂zk

~f en un cerrado Ω implica
que:

‖~f(x, ~z)‖ ≤M, ‖∂zk ~f(x, ~z)‖ ≤ Kk ≤ máx
k=0,...,n−1
{Kk} ≡ K. (A.6)
Apréciese que para que la familia {~zn}∞n=0 esté bien definida necesitamos que ‖~zm(x) −
~z0‖ ≤ r para cada x ∈ Eh(x0), para que aśı pueda evaluarse ~f(x, ~zm(x)) a la hora de
calcular ~zm+1. Esto no es problema porque ~z0 cumple trivialmente esta propiedad y, pro-
cediendo por inducción, si ~zm(x) la cumple, entonces

‖~zm+1(x)− ~z0‖ =
∥
∥
∥
∥
∫ x
x0
~f(t, ~zm(t))dt
∥
∥
∥
∥
≤M |x− x0| ≤Ma ≤ r,

lo que quiere decir que ~zm+1(x) también la cumple.1

La convergencia de la sucesión (~zn)
∞
n=0 es equivalente a la de la serie

∑∞
m=0(~zm+1−~zm)

ya que las sumas parciales son los términos de la sucesión, salvo ~z0:

~zn+1 = ~z0 +
n∑
m=0
(~zm+1 − ~zm). (A.7)

Para demostrar la convergencia de la serie, debemos cerciorarnos de que el término m-
ésimo (~zm+1 − ~zm) tiende a cero suficientemente rápido cuando m