Capitulo 7 Sistemas fluido-partícula sólida Muchas operaciones de procesado de metales y de materiales implican sistemas en los que se ponen en co...

Capitulo 7 Sistemas fluido-partícula sólida Muchas operaciones de procesado de metales y de materiales implican sistemas en los que se ponen en contacto fluido y partículas o donde el objetivo es separar mezclas de fluido y partículas. Algunos ejemplos típicos de operaciones de contacto fluido-partícula incluyen: alto horno de hierro (cama de sólidos que se mueve lentamente, corriente de gases en movimiento); tostación en cama fluidizada de menas de sulfuros (tanto el sólido como los gases en movimiento); filtración (cama fija de sólidos, fluido en movimiento), y operación de un espesador (sólidos asentándose, fluido básicamente estacionario). 7.1 Sistemas fluido-partícula aislada 7.1.1 Movimiento estacionario de partículas en fluidos Coeficiente de arrastre. Aunque bajo ciertas circunstancias es posible calcular el perfil de velocidad alrededor de una partícula sólida de forma regular de la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes, ϯ en casos generales quizá es más conveniente evaluar la fuerza que actúa sobre una partícula en movimiento con ayuda de un coeficiente de arrastre empírico, o factor de fricción. Cuando una partícula y el fluido en el que se encuentra sumergida se hallan en movimiento relativo entre sí, sobre la partícula se ejerce una fuerza, generalmente llamada la fuerza de arrastre. Esta fuerza de arrastre ???????? puede expresarse como ???????? = ???????????????? ???????????? 2 2 (7.1.1) en donde ???????? es el coeficiente adimensional de arrastre (análogo al factor de fricción definido en el capítulo 2 para flujo a través de conductos), ???????? es el área transversal de la partícula proyectada sobre un plano perpendicular a la dirección del movimiento y ???????? es la velocidad relativa del fluido respecto a la de la partícula, y corresponde a la velocidad en el seno del fluido. Experimentalmente se encuentra que el coeficiente de arrastre es una función del número de Reynolds de la partícula, que se define como ????????????,???? = 2???????????????????? ???? (7.1.2) y también es función de la forma de la partícula. La figura 7.1.11 muestra una gráfica de una relación determinada experimentalmente entre el ???????? ???? ????????????,????, 2 La inspección de la figura 7.1.1 muestra que esta gráfica puede dividirse en cuatro regiones diferentes como sigue: Figura 7.1.1 Gráfica del coeficiente de arrastre comparado con el número de Reynolds de la partícula para esferas, discos y cilindros; según Lapple y Shepherd1 i) 10−3 ≤ ????????????,???? ≤ 1. Flujo viscoso o zona de Stokes. En esta región el coeficiente de arrastre es linealmente proporcional al inverso del número de la partícula de Reynolds y se puede escribir como ???????? = 24 ????????????,???? (7.1.3) Sustituyendo ???????? de la ecuación (7.1.3) en la ecuación (7.1.1) y al observar que, para una partícula esférica, ???????? = ???????????? 2 se tiene ???????? = 6???????????????????????? (7.1.4) Esta ecuación se llama la ley de Stokes, en honor a Stokes, quien la derivó analíticamente resolviendo las ecuaciones de Navier-Stokes en 1851. ii) 1 ≤ ????????????,???? ≤ 500. Zona de transición En esta región los datos experimentales pueden representarse mediante la siguiente relación aproximada: ???????? ≅ 18.5 ????????????,???? 0.6 (7.1.5) iii) 500 ≤ ????????????,???? ≤ 2 ∗ 10 5 zona turbulenta o de Newton. En esta región el coeficiente de arrastre es aproximadamente constante e independiente del número de Reynolds. ???????? ≅ 0.44 (7.1.6) iv) ????????????,???? > 2 ∗ 10 5 Finalmente, en esta región el coeficiente de arrastre cae hasta un valor bastante bajo de 0.09 del cual se eleva lentamente a valores mayores del número de Reynolds. La imagen física que corresponde a la dependencia del coeficiente de arrastre sobre el número de Reynolds de la partícula, ilustrada en la figura 7.1.1, se muestra en la figura 7.1.2. Se ve que en la región de la ley de Stokes a) el patrón de líneas de corriente es casi simétrico; el patrón de líneas de corriente se distorsiona progresivamente en la región de transición b) y c). En la región de la ley de Newton d) ocurre la separación con formación de remolinos atrás de la esfera. Finalmente, en la región e) y f) el punto de separación se mueve hacia adelante con la reducción correspondiente de la fuerza de arrastre ejercida sobre la partícula. Figura 7.1.2 Líneas de corriente para un fluido que fluye junto a una esfera; a), b) patrón simétrico de líneas de corriente a bajos números de Reynolds; c) distorsión del patrón para número de Reynolds moderado, d) separación en la región de la ley de Newton, e), f) la separación de la capa fronteriza se mueve hacia adelante para números de Reynolds muy grandes VELOCIDAD DE CAIDA TERMINAL Un uso importante de las expresiones desarrolladas para representar la fuerza de arrastre que actúa sobre las partículas se encuentra en el cálculo de velocidad de caída terminal (o ascenso). Si una partícula cae (polvo en aire) o se eleva (inclusiones en acero fundido) dentro de un fluido, se acelerará hasta que la fuerza de gravedad (o algún otro campo de fuerza de cuerpo) que produzca este movimiento, se balancee exactamente con las fuerzas que se resisten al movimiento. Para un fluido estacionario, de este punto en adelante, la partícula se moverá a velocidad constante, denominada velocidad de caída terminal (o de elevación). El valor de esta velocidad terminal se obtiene fácilmente igualando la fuerza de cuerpo (generalmente la fuerza de gravedad) la cual actúa sobre la partícula, con la fuerza de arrastre. Así, para la región de flujo reptante (ley de Stokes) se tiene: ???????? = 4 3 ???? ???????? 3 ???????? − ???????? ???? = 6???????????????????????? (7.1.7) Esto es, ???????? = 2???????? 2 9???? ???????? − ???????? ???? (7.1.8) en donde ???????? es la densidad de la partícula sólida. La expresión equivalente para la región de la ley de Newton es ???????? = 6???????? ???????? − ???????? ???? ???????? Τ1 2 (7.1.9) Se pueden derivar expresiones similares para las otras regiones. Debe enfatizarse al lector que las ecuaciones que se han desarrollado aquí están limitadas en validez; a) a partículas sólidas esféricas b) a movimiento en estado estacionario c) a movimiento de la partícula en un fluido estacionario (inmóvil) o en un fluido en donde no hay turbulencia y el campo de velocidad es uniforme. d) a partículas individuales que se mueven muy lejos de alguna superficie sólida. Las restricciones listadas en a) - d) pueden parecer indeseablemente restrictivas como para que las ecuaciones simples (7.1.8) ó (7.1.9) tengan algún valor práctico. En realidad, estas relaciones simples se utilizan ampliamente en el cálculo del comportamiento de un amplio rango de sistemas. En algunos casos estas ecuaciones son aplicables dentro del grado deseado de exactitud; en otros casos su uso puede ser muy equivocado. Primero se examinará la aplicación de la ecuación (7.1.8) en un ejemplo simple y se procede luego a tratar las implicaciones de las restricciones listadas como a) - d). Ejemplo 7.1.1 Calcule la velocidad terminal de elevación de una partícula de inclusión sólida de 20 µm de diámetro 2 ∗ 10−5 ???? dentro de un fundido inmóvil de acero. DATOS: densidad de la partícula de inclusión, 2