3.4. Límites infinitos Definición 3.4.1. Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto posibleme...

3.4. Límites infinitos Definición 3.4.1. Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto posiblemente en a mismo. Conforme x se aproxima a a, f(x) crece sin límite, lo cual se escribe como x a límf(x) → = +∞ si para cualquier número N 0> existe 0δ > tal que 0 x a< − < δ entonces f(x) N> . Definición 3.4.2. Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto I que contiene a a, excepto posiblemente en a mismo. Conforme x se aproxima a a, f(x) decrece sin límite, lo cual se escribe como x a lím f(x) → = −∞ si para cualquier número N 0< existe 0δ > tal que 0 x a< − < δ entonces f(x) N< . TEOREMA 4. Si r es cualquier número entero positivo, entonces (i) r x 0 1 lím x+→ = +∞ ; (ii) r x 0 si r es impar1 lím si r es parx−→ = −∞ = +∞ El teorema también es válido si se sustituye "x a "→ por "x a "−→ . TEOREMA 5. Si a es cualquier número real y si x a límf(x) 0 → = y x a límg(x) c → = , donde c es una constante diferente de 0, entonces (i) si c 0> y f(x) 0→ a través de valores positivos de f(x), entonces x a g(x) lím f(x) → = +∞ (ii) si c 0> y f(x) 0→ a través de valores negativos de f(x), entonces x a g(x) lím f(x) → = −∞ (iii) si c 0< y f(x) 0→ a través de valores positivos de f(x), entonces x a g(x) lím f(x) → = −∞ (iv) si c 0< y f(x) 0→ a través de valores negativos de f(x), entonces x a g(x) lím f(x) → = +∞ El teorema también es válido si se sustituye "x a "→ por "x a "−→ .