Donde, ∆ ==−=−1r1PP1212 es la inversa de la distancia mutua entre los cuerpos m1 y m2. Se la designa como la parte principal de la función perturbadora. Luego, el gradiente de la función perturbadora tiene la forma, =ℜ )1(P1 232212312PPmk)PPmk−−−++=ℜ )1(P2 131121321PPmk)PPmk−−−++Hemos visto que en el problema de tres cuerpos sólo se conocen diez integrales algebraicas y por tanto, el grado de indeterminación es ocho. En general, no existen más integrales que las enunciadas, pero hay algunos casos particulares de gran interés astronómico, en el cual el sistema de tres cuerpos se puede resolver, i.e., admite una solución. Es el caso de las soluciones homográfícas, de equilibrio relativo y colineales. Fig. 10. Posición de los tres cuerpos en el espacio R3. m0 (Sol) coincide con el origen de coordenadas cartesianas heliocéntricas. m1(x1,y1,z1) m2 (x2,y2,z2) r = ∆ P1 P2 X Y Z m0 § 3.7 Soluciones del problema de tres cuerpo. Soluciones homográficas. Decimos que una solución del problema de tres cuerpos es homográfica si la configuración del sistema se conserva durante el movimiento semejante a si mismo, i.e., si el triangulo formado por los tres puntos masa, en un instante cualquiera t, es semejante al triángulo formado por las tres masas en el instante inicial de la configuración, para t = t0. Entonces, debe verificarse si la configuración es homográfica, que el ángulo determinado por los vectores P1 y P2 sea constante en el tiempo; definimos este ángulo por ω y además, que la relación )17.3(0t(P1P2P1P201 >ρ==sea positiva, tal que para todo t = t0 se verifique ρ(t0) = 1. Indiquemos con a1 y a2 los módulos de )t(P01 y )t(P02 respectivamente y con a0 = | 2P (t0) − 1P (t0) |; de tal modo, que la expresión (3.17) toma la forma: |P1| = a1 ρ; |P2| = a2 ρ; y | P2(t0) − P1(t0)| = a0 ρ (3.17a) donde ρ se define como la función de dilatación; es una función continua y derivable. Si en las ecuaciones de movimiento (3.13) introducimos la definición de los módulos (3.17a) resulta: 2332123123302133202022PPmk)PPmkPamk)mm(kPρ−−ρ=ρ++1331123312023312022022PPmk)PPmkPamk)mm(kPρ−−ρ=ρ++multiplicamos ambas ecuaciones por ρ3 y además, como los coeficientes de los vectores P1 y P2 son cantidades constantes, las ecuaciones anteriores se pueden escribir de la forma: 0PaPaP2121111..3=++ρ 0PaPaP2221212..3=++ρ donde: 322310211aamka)m1(a+−= , −=322312121a1a1mka= , =21a−=3223111a1a1m , 32201222022amka)m1(a+−= . 48 § 3.7 Soluciones del problema de tres cuerpo. 1 Whittaker E. T. Nació en 1873 Inglaterra y murió en 1956 Escocia. Fue astrónomo real de Irlanda en el 1906. Sus estudios sobre Análisis Numérico, Funciones Especiales, Mecánica Analítica, Mecánica Celeste, Ecuaciones diferenciales etc. le valieron para obtener una Cátedra en la Universidad de Edimburgo y posteriormente el título de Sir. 2 Levi-Civita, T.(1873-1941) fue un matemático italiano, famoso por su trabajo sobre cálculo tensorial pero también hizo contribuciones importantes en otras áreas de las matemáticas. Fue discípulo de Gregorio Ricci-Curbastro, el inventor del cálculo tensorial. Sus trabajos incluyen publicaciones fundacionales en Matemáticas puras y aplicadas, en Mecánica Celeste (problema de tres cuerpos) y en hidrodinámica. Levi-Civita colaboró con Albert Einstein en la aplicación del cálculo tensorial, en la teoría de la relatividad general. 3 Lagrange, J.L. Nació en 1736 Turín y murió en 1813 Paris. Exquisito matemático !. Solo diremos que a los dieciséis años de edad fue nombrado profesor de matemáticas en la Escuela Real de Artillería de Turín. Su producción científica está reflejada en su obra “Mécanique Analytique”. “Transcribía a las matemáticas todos los temas sobre investigaciones físicas que le traían sus amigos, de la misma manera que Schubert ponía música a cualquier ritmo que atraía su fantasía”. 4 Euler, L. Nació en 1707 Basilea y murió 1783 en San Petersburgo. Probablemente uno de los más grandes matemáticos de la historia, comparable a Gauss, Newton, Laplace y Arquímedes. Fue discípulo de Bernoulli, a quien superó rápidamente. Posiblemente fue el matemático más fecundo y productivo; su actividad científica se manifiesta en sus publicaciones, un promedio de 600 páginas por año entre los años 1727 y 1783. Publico varios trabajos sobre el movimiento de la Luna y problema de tres cuerpos. Si elegimos las unidades de longitud y tiempo, de tal modo que: k2 = 1 y m0 + m1 + m2 = 1; entonces, los coeficientes jia se simplifican y por lo tanto, tienen la expresión: 320321211amam)m1(a+−= , −=320321212a1a1ma= , =21a−=3203111a1a1m , 32013222022amam)m1(a+−= . Resumiendo. El sistema de ED (3.18) nos permite hallar soluciones en la cual la forma geométrica de la configuración permanece invariante. En este tipo de soluciones la escala de longitud puede variar y la figura puede rotar pero la forma geométrica no varía. Una de estas configuraciones es un triángulo equilátero o los tres cuerpos alineados. NOTA: Mi Profesor, el Dr. Reynaldo P. Cesco, estudió exhaustivamente este problema en un trabajo titulado: “Sobre las soluciones homográficas del problema de los tres cuerpos”; 1959, Serie Astronómica tomo 25, Nº 2, Observatorio Astronómico de la Universidad Nacional de La Plata. Recomiendo su lectura. Solución de equilibrio relativo. Las soluciones homográficas han sido estudiadas exhaustivamente por Whittaker 1 y Levi-C