Nos proponemos ahora estudiar las colisiones binarias en el caso del problema de tres cuerpos; para ello consideremos las masas m0, m1 y m2 y analicemos la perturbación del movimiento elíptico de m0 y de m1 debido a la influencia de m2 en el caso en que las distancias de m2 a m0 y m1 estén acotadas “inferiormente” en un cierto intervalo de tiempo; es decir, para t ∈ (t1, t2) además, las distancias 20ρ y 21ρ se conservan superiores a cierto número α, por lo tanto: 20ρ , 21ρ > α > 0. La ecuación diferencial de movimiento, en forma vectorial, de m1 perturbado por m2 en un sistema heliocéntrico, donde m0 es el Sol (origen fijo) es (ver Figura 53): 1..P + (m0 + m1) 3 1 1 P P = R = m2 una constante. Fig. 53. Configuración de tres cuerpos en el plano; los vectores de posición P1 y P2 y sus distancias mutuas ρ01, ρ02 y ρ12. Notar que la ecuación (9.18) se puede escribir de la forma: D + 1 102 1..P )mm( P 2 1 = R 1..P , (9.18a) Si a la expresión entre corchetes la definimos como: 1 102 1..P )mm( P 2 1 + = g (escalar); entonces, la igualdad anterior toma la forma: .g = R 1..P (9.18b) además, teniendo en cuenta que: D 2 1P = P1. 1..P , resulta: D 2 1P = 2 1..P + P1 1..P ; por lo tanto, la ecuación (9.19), toma la forma: 2D 2 1P − 2 1..P + 1 10 P )mm( + = R P1 Vamos a demostrar ahora dos desigualdades que serán muy útiles en el análisis de las colisiones binarias. Si P, Q y R son tres vectores arbitrarios, su producto vector es: (P x Q) x R = (P.R) Q − (P.Q) R. Si definimos P = P1, Q = 1..P y R = P1, entonces resulta: (P1 x 1..P ) x P1 = 2 1P 1..P − 1P td Pd 1. 1P = 1P − 1 1 1..1 P td d . La segunda desigualdad la vamos a deducir a partir de la derivada del producto vector de la expresión: td d )PxP( 1..1 = 1..1 PxP = 1P x 1..P = 1P x 1..P = m2 P1 x 3 20 3 21 11 ρ − ρ 2021 11 ρ − ρ 2021 2 20 2 21 111 ρρ + ρ + ρ | P1| | P2|, tener en cuenta que: (a 3 − b 3 ) = (a − b) (a 2 + b 2 + a b). Además, por ser: 21ρ > α, resulta: 20 1 ρ < α 1 , y también 21 1 ρ < α 1 ; luego, el último miembro toma la forma: )PxP( td d 1..1 ≤≤≤≤ 3 2 2m α 2021 11 ρ − ρ | P1| | P2 | = 3 2 2m α 212 P 1 PP 1 − − | P1| | P2 | = 3 2 2m α 212 122 PPP PPP − −− | P1| | P2 | ≤≤≤≤ 3 3 2m α ( )122 PPP −− | P1| . )PxP( td d 1..1 ≤≤≤≤ 3 3 2m α 2 1P , y por tanto: )PxP( td d 1..1 ≤≤≤≤ Const.