rbita en el plano. Desarrollos del movimiento elíptico. Para determinar la órbita de un planeta en el plano {x,y} es necesario conocer cuatro constantes, [a, e, τ, υ]; donde, a = semi-eje mayor, e = excentricidad, τ = instante de pasaje por el perihelio, υ = anomalía verdadera. Ver Figura 7. Si consideramos la anomalía verdadera υ, las coordenadas {x,y} de planeta tienen la expresión x = r cos υ y = r sen υ donde r = 22 yx + = )(cose1 p ϖ−υ+. F υ Perihelio Instante = τ • Planeta ϖ r Eje x y 22 § 2.3 La órbita en el plano. Consultar: López García, F.; 2004, “Una Introducción a la Dinámica del Sistema Solar”; pág. 10. En los métodos numéricos para calcular y determinar órbitas se emplean expresiones que relacionan ambas anomalías. siendo p = a (1 – e2). Además, las coordenadas x e y en función de la anomalía excéntrica tienen la expresión Esene1ay )eEcos(ax 2−=−= donde el radio vector r = a (1 – e cos E) y n (t - τ) = M = E – e sen E; siendo M el ángulo que describe, en un tiempo t, el radio vector r si el movimiento fuese circular y uniforme. Es importante poder expresar una de las anomalías en función de la otra. Vamos a demostrar una relación entre la anomalía verdadera υ y la anomalía excéntrica E; Para ello recordemos que: r cos υ = a (cos E – e) ⇒⇒⇒⇒ cos υ = r )eE(cosa − = )Ecose1(a )eE(cosa − = )Ecose1( )eE(cos − = Sumamos la unidad en ambos miembros y operamos algebraicamente, resulta: 1 + cos υ = )Ecose1( Ecose1eEcos −+− = )Ecose1( )Ecos1()e1( −+−, y restando de la unidad en ambos miembros, se obtiene: 1 − cos υ = )Ecose1( )eEcos(Ecose1 −−− = )Ecose1( )Ecos1()e1( −−+; estas dos ecuaciones se pueden formular en función del arco mitad, entonces resultan las expresiones: 1 + cos υ = 2 cos2 2 υ = )Ecose1( 2 E cos2)e1( 2 −−, 1 − cos υ = 2 sen2 2 υ = )Ecose1( 2 E sen2)e1( 2 −+; dividiendo miembro a miembro, se obtiene: υ2 1 tg2 = E 2 1 tg e1 e1 2 −+, luego υ2 tg = e1 e1 −+ 2 E tg (2.22) relación importante que vincula la anomalía verdadera υ con la anomalía excéntrica E. § 2.3 La órbita en el plano. Para los planetas e < 0,1, excepto Mercurio e = 0.2056; para los cuerpos menores: asteroide, cometas, etc. la excentricidad puede alcanzar el orden de: e ∼∼∼∼ 0,9. Desarrollos analíticos. Nos proponemos desarrollar la anomalía verdadera υ, en serie de senos de los múltiplos de la anomalía excéntrica E. De la ecuación (2.22) podemos escribir que e1 e1 −+ = β− β+ 1 1, luego e1 e1 −+ = 2 2 )1( )1( β− β+ operando algebraicamente resulta, e [ (1 − β)2 + (1 + β)2 ] = (1 + β)2 − (1 − β)2 ⇒ e [ 2 + 2 β2] = 4 β ⇒ e [ 1 + β2] = 2 β, por lo tanto, 21 2 e β+ β = ; de esta ecuación obtenemos β en función de la excentricidad de la forma, 01 e 22 =+β−β , luego, β =     −± 2e11 e 1 (2.23) NOTA: Nos interesa sólo un valor de β porque la excentricidad, en general, es pequeña en el Sistema Solar. Teniendo en cuenta el desarrollo de 2e1 − ≅ 1 − 42 e 8 1 e 2 1 − + …, resulta, β ≅     −−± ...e 2 1 1(1 e 1 2 = 2 e e 11 m ± ; luego, β es mínimo cuando consideramos el signo negati_ vo por lo tanto, la ecuación (2.23) toma la forma β =     −− 2e11 e 1 (2.23a) Con la introducción y definición de β la ecuación (2.22) resulta, 2 tg υ = β− β+ 1 1 2 E tg , (2.24) Considerando las expresiones exponenciales imaginarias, de la siguiente forma: υie = X, Eie = Y, entonces, podemos escribir: 2 tg υ = 2 cos 2 sen υ υ =             + − υ − υ υ − υ 2 ee i2 ee i 2 i 2 i 2 i 2 = 2 1 2 1 2 1 2 1 XX XX i 1 − − + − Dividiendo numerador y denominador por 2 1 X − resulta, 2 tg υ = 1X 1X i + − − , análogamente: 2 E tg = 1Y 1Y i + − − reemplazando en la ecuación (2.24) se obtiene: 1X 1X + − = β− β+ 1 1 1Y 1Y + − resolviendo esta ecuación respecto de X, resulta: X       + − β− β+ − 1Y 1Y 1 1 = 1 + β− β+ 1 1 1Y 1Y + − ; operando algebraicamente se obtiene, X ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1Y11Y1 −β+−+β− = ( ) ( ) ++β− 1Y1 ( ) ( )1Y1 −β+ por lo tanto, X [ 2 − 2β Y ] = − 2β + 2 Y luego, X = yY1 Y β− +β− = Y Y1 Y1 1 β− β− −. Tomando logaritmos en ambos miembros y recordando las definiciones de X e Y se tiene: ln X = i υ y ln Y = i E, entonces ln X = i υ ≡ i E + ln )Y1( 1−β− − ln )Y1( β− (2.25) Como β es una cantidad muy pequeña, i.e., β << 1, resulta β=β Y << 1 y β=β −1Y << 1 ; recordemos además, que el desarrollo en serie de potencias de la expresión )x1(ln + es de la forma: )x1(ln + = ∫ + x 0 x1 xd = ∫ +−+− x 0 32 xd)...xxx1( luego, )x1(ln + =