siguen a Júpiter, punto L5, recibieron nombres de los defensores de la ciudad de Troya, se los designan como "troyanos". ρ2 = 1 1/2 (1-2µ)/2 § 4.2 ...

siguen a Júpiter, punto L5, recibieron nombres de los defensores de la ciudad de Troya, se los designan como "troyanos". ρ2 = 1 1/2 (1-2µ)/2 § 4.2 El problema restringido. 1 Teniendo en cuenta la Figura 23 deducimos la distancia Ga = distancia (Gµ) menos la distancia (aµ), entonces resulta: a = (1-µ) – ½ = (1-2 µ) / 2 y b2 = 1- (1/2)2 luego, b = 2/3 . Cálculo de las derivadas. Recordar que la distancia del punto masa (1-µ) al punto de libración L4 es ρ1 = 1, del mismo modo, la distancia de µ a L4 es ρ2 = 1. Las expresiones que definen estas distancias en función de x e y son: 222 1 y)x( +µ+=ρ , 222 2 y)1x( +−µ+=ρ , y sus derivadas, x2 1 1 ∂ ρ∂ ρ = 2 (x + µ), y 2 1 1 ∂ ρ∂ ρ = 2 y, x2 2 2 ∂ ρ∂ ρ = 2 (x + µ - 1), y 2 2 2 ∂ ρ∂ ρ = 2 y, Las coordenadas de los puntos a y b, respecto al origen G1 (baricentro de los puntos masa (1-µ) y µ) son: a = 2)21( µ− y b = 2)3 , ver Figura 23. Luego, el valor de las derivadas en este punto son: x1 1 ∂ ρ∂ ρ = 2 1 , y 1 1 ∂ ρ∂ ρ = 2 3 , x2 2 ∂ ρ∂ ρ = 2 1 − , y 2 2 ∂ ρ∂ ρ = 2 3 . Cálculo de las derivadas de la función perturbadora en el punto (a,b).       ∂ Ω∂ x = 3 1 )1( ρ µ− − x 1 1 ∂ ρ∂ ρ − 3 2ρ µ x 2 2 ∂ ρ∂ ρ + x; luego para x = a = 2)21( µ− e y = b = 2)3 , resulta b,a x        ∂ Ω∂ = 1 )1( µ− − ( 2 1 ) − 1 µ ( 2 1 − ) + ( 2 1 −µ) = − 2 1 + 2 µ + 2 µ − 2 1 ≡ 0, luego: b,a x        ∂ Ω∂ ≡ 0. Del mismo modo hallamos       ∂ Ω∂ y = 3 1 )1( ρ µ− − y 1 1 ∂ ρ∂ ρ − 3 2ρ µ y 2 2 ∂ ρ∂ ρ + y; entonces, b,a y        ∂ Ω∂ = 2 3 2 3 2 3 )1( +µ−µ−− = 0, luego: b,a y        ∂ Ω∂ ≡ 0. 76 § 4.2 El problema restringido. Cálculo de la derivada segunda de la función Ω. Hemos deducido: x∂ Ω∂ = 3 1 )1( ρ µ− − )x( µ+ − 3 2ρ µ )1x( +µ+ + x; entonces, la derivada segunda es: 2 2 x∂ Ω∂ = 5 1 )1(3 ρ µ− x( µ+ x 1 1 ∂ ρ∂ ρ 3 1 )1( ρ µ− − + )1x( 3 5 2 −µ+ ρ µ x 2 2 ∂ ρ∂ ρ 3 1ρ µ − + 1; y en el punto (a,b) b,a 2 2 x         ∂ Ω∂ = 4 1 )33( µ− − µ+1 + 4 1 3 µ − µ + 1 = 4 3 , luego b,a 2 2 x         ∂ Ω∂ = 4 3 . Del mismo modo, y∂ Ω∂ = 3 1 )1( ρ µ− − y − 3 2ρ µ y + y, 2 2 y∂ Ω∂ = 5 1 )1(3 ρ µ− y 1 1 ∂ ρ∂ ρ y 3 1 )1( ρ µ− − + 5 2 3 ρ µ y y 2 2 ∂ ρ∂ ρ 3 2 ρ µ − + 1, b,a 2 2 y         ∂ Ω∂ = 2 3 2 3 )33( µ− − 1 + µ + 3 µ 2 3 2 3 − µ + 1 = 4 9 , luego b,a 2 2 y         ∂ Ω∂ = 4 9 , yx 2 ∂∂ Ω∂ = 5 1 )1(3 ρ µ− x 1 1 ∂ ρ∂ ρ y + 5 2 3 ρ µ y y 2 2 ∂ ρ∂ ρ b,a 2 yx         ∂∂ Ω∂ = 2 3 2 1 )33( µ− + 3 µ 2 3 2 1      − = µ−µ− 4 33 4 33 4 33 , luego b,a 2 yx         ∂∂ Ω∂ = b,a 2 xy         ∂∂ Ω∂ = )21(3 4 3 µ− Con los valores de las derivadas calculadas, hasta el segundo orden, reemplazamos los mismos en el sistema de ED (4.4a), entonces resulta: )21( 4 33 4 3 2... µ−−ξ−η−ξ η = 0 (4.6) 2 ξ+η − η−ξµ− 4 9 )21( 4 33 = 0 § 4.2 El problema restringido. 1 La solución general de una ED es combinación lineal de las soluciones particulares. 77 Las ecuaciones (4.6) forman un sistema de ED de segundos orden simultáneo, el cual admite una solución particular de tipo exponencial que nos permite escribir la solución general 1. Las soluciones particulares son de la forma teA σ=ξ teB σ=η (4.7) y sus derivadas son: t . eA σσ=ξ , t2 .. eA σσ=ξ ; t . eB σσ=η , t2 .. eB σσ=η Reemplazamos las funciones solución y sus derivadas en el sistema de ED (4.6) luego simplificamos, entonces resulta: B)21( 4 33 A 4 3 B2A 2 µ−−−σ−σ = 0 B 4 9 A)21(