A fin de tener fórmulas mas sencillas multiplicamos la primera de estas igualdades por dos y la segunda ecuación por tres, luego sumamos y después restamos miembro a miembro ambas ecuaciones, el resultado es el siguiente: La suma de ambas ecuaciones es: [ ]{∑νξ−−ν−ξξ++−ν−ξ−−ν−ξ+ν−ξ m12)12(12m9)12(m8)122()12(24 22 ξ−νν aa + + }ν−ν−ξ aam9 1 2 = 0. (8.13a) La suma de ambas ecuaciones es: [ ]{∑νξ+−ν−ξξ−+−ν−ξ−−ν−ξ+ν−ξ m12)12(12m9)12(m8)122()12(24 22 ξ−νν aa + + }ν−ν−ξ− aam9 1 2 = 0. (8.13b) Para abreviar, al primer corchete lo denominamos ξνA y al segundo corchete lo designamos ξνB , luego resulta: =+ =+ ∑ ∑ ν ν −ν−ξ−νξ−ν−νξν ν ν −ν−ξνξ−ννξν )( )( 1 2 )( )( 1 2 0aam9aaB 0aam9aaA Estas dos ecuaciones constituyen un sistema de infinitas ecuaciones con infinitas incógnitas porque tanto ξ como ν varían desde 0 a ∞. Notar que las ecuaciones son validas para todo ξ ≠ 0. § 8.3 Calculo de los coeficientes aν y a-ν-1. Por simplicidad, vamos a separar en dos los términos en la primera serie y lo mismo hacemos en la segunda ecuación, de la forma: ξ−ξ aaA 00 + ξ−ννξν ≠ν ∑ aaA 0)( + 2m9 1 )( aa −ν−ξν ν ∑ = 0 (8.14) ξ−ξ aaB 00 + ξ−ννξν ≠ν ∑ aaB 0)( + 2m9 1 )( aa −ν−ξ−ν ν ∑ = 0 (8.15) luego, multiplicamos la primera ecuación por ξ0B y la segunda por ξ0A y restando miembro a miembro resulta: ( )ξνξξξν ≠ν −∑ BABA 00 0 ξ−νν aa + 2m9 ( )∑ ν −ν−ξ−ξ−ν−ξξ − 1010 aAaB aν = 0 a los fines del cálculo, es conveniente separar en la primera suma el termino ν = ξ, entonces se tiene: ( ξξA ξ0B − ξ0A ξξB ) ξaa0 + ∑ ξ≠ ≠ν 0 ( ξνA ξ0B − ξ0A ξνB ) ξ−νν aa + + 2m9 ( )∑ ν −ν−ξ−ξ−ν−ξξ − 1010 aAaB aν = 0 (8.16) Si definimos, [ ]νξ = ξξξξξξ ξξνξνξ − − BABA BABA 00 00 ; e introducimos las siguientes abreviaciones: ξξC = ξξξξξξ − BABA 00 ≠ 0. [ ξ ] = − 9 ξξ ξ C B0 ; ( ξ ) = 9 ξξ ξ C A0 ; ξC = 0a aξ . entonces, si en la ecuación (8.16) dividimos previamente por: ξξA ξ0B − ξ0A ξξB y desarrollamos la última suma en dos términos, el resultado es: ξC = ∑ ξ≠ ≠ν 0 [ ]νξ ξ−νν CC + m 2 [ ξ ] ∑ ν −ν−ξν )( 1CC + m 2 ( ξ ) ∑ ν −ν−ξ−ν )( 1CC . (8.17) Fórmula fundamental de recurrencia, mediante la cual es posible el cálculo de los coeficientes νC y por tanto, podemos obtener los coeficientes νa (= a0 νC ). Analicemos este resultado con un Ejemplo: Las expresiones para ξ0A y ξ0B se obtienen a partir de las ecuaciones (8.13a) y (8.13b), haciendo ν = 0, resulta: ξ0A = 4 2ξ − 2(2ξ−1) − 8m (ξ−1) + 9 2m + 12 ξ (ξ−1) − 12 m ξ. ξ0B = 4 2ξ − 2(2ξ−1) − 8m (ξ−1) + 9 2m − 12 ξ (ξ−1) + 12 m ξ. § 8.3 Calculo de los coeficientes aν y a-ν-1. El siguiente paso consiste en determinar la diferencia: ξνξ BA0 − ξξν 0BA y por tanto el denominador ξξC = ξξξξξξ − BABA 00 ≠ 0, lo cual nos permite calcular [ ]νξ y además evaluar las expresiones [ ξ ] y ( ξ ), entonces resulta: [ ]νξ = ξξξξξξ ξξνξνξ − − BABA BABA 00 00 = − ξ ν 22 22 mm424 m)1(m4)1(4244 +−−ξ +−ν−ξ+−ξν+−ξ+ξ . (8.18a) [ ξ ] = 16 3 )mm428( m9)48(m284 222 22 +−−ξξ +ξ+++ξ+ξ− . (8.18b) ( ξ ) = − 16 3 )mm428( m9)208(m21620 222 22 +−−ξξ +ξ−++ξ−ξ . (8.18c) Con estas definiciones estamos en condiciones de calcular la formula de recurrencia (8.17) donde ξ toma los valores 1 y −1, luego se tiene: Para ξ = 1. 1C = ∑ ≠ ≠ν 1 0 [1 ν] Cν Cν−1 + m 2 [1] ∑ ν ν−ν )( 1CC + m 2 (1) ∑ ν −ν−ν )( 2CC . Para ξ = −1. C−1 = ∑ −≠ ≠ν 1 0 [−1 ν] Cν Cν+1 + m 2 [−1] ∑ ν −ν−ν )( 2CC + m 2 (−1) ∑ ν ν−ν )( 1CC . Expresiones que nos permiten desarrollar la fórmula de recurrencia (8.17), la cual toma la forma: C1 = [1,2] C2 C1 + [1,−1] C−1 C−2 + [1,3] C3 C2 + [1, −2] C−2 C−3 + - - - + + [1] m 2 [ 1 + 2 C1 C-1 + 2 C2 C−2 + 2 C3 C−3 + - - - ] + + (1) m 2 [ 2 C−2 + C1 C−3 + C2 C−4 + 2 1 C− + C−3 C1 + - - -] donde 1 ≡ 2 0 02 0 a a C