Sol. (Ej. 350) — Si la función g a aproximar es continua en [0, 1], será uniformemente continua, entonces ∀ε > 0,∃δ > 0 tal que |g(x)− g(y)| < ε, s...

Sol. (Ej. 350) — Si la función g a aproximar es continua en [0, 1], será uniformemente continua, entonces
∀ε > 0,∃δ > 0 tal que |g(x)− g(y)| < ε, si |x− y| < δ.
Además g estará también acotada y por tanto |g(x)| < M, ∀x ∈ [0, 1]. Sea ahora un x cualquiera en [0, 1],
|g(x)−Bn(x)| =
∣∣∣∣∣g(x)
n∑
k=0
(
nk
)xk(1−x)n−k −
n∑
k=0
g
(k
)
(
nk
)xk(1−x)n−k
∣∣∣∣∣
≤
n∑
k=0
∣∣∣∣g(x)− g
(k
)
∣∣∣∣(nk)xk(1−x)n−k
=
∑
|k/n−x|≤δ
∣∣∣∣g(x)− g
(k
)
∣∣∣∣(nk)xk(1−x)n−k +
+
∑
|k/n−x|>δ
∣∣∣∣g(x)− g
(k
)
∣∣∣∣(nk)xk(1−x)n−k
≤ ε+ 2M
∑
|k/n−x|≤δ
(
nk
)xk(1−x)n−k.
Si Zn ∼ B(n, x), el último sumatorio no es más que
P
(
∣∣∣∣Zn
n−x
∣∣∣∣) =
∑
|k/n−x|≤δ
(
nk
)xk(1−x)n−k,
y tendremos
|g(x)−Bn(x)| ≤ ε+ 2MP
(
∣∣∣∣Zn
n−x
∣∣∣∣) ,
pero por la ley de los grandes números
Zn
n
P−→ x y por tanto P
(
∣∣∣∣Zn
n−x
∣∣∣∣) −→ 0,
lo que demuestra la convergencia uniforme de Bn a g en [0, 1].