cada pico o depresión (marcados con un punto blanco), el número de espirales en las dos familias aumenta un número en la sucesión. Si escribimos, por ejemplo, (3, 5) quiere decir 3 familias en una dirección y 5 en la otra; estos pares de números proviene de una sucesión muy parecida a la sucesión de Fibonacci, llamada los números de Lucas: 1, 3, 4, 5, 11, 18, 29, 47, 76, 123 Y así sucesivamente. La regla para formar estos números, después de los dos primeros, es la misma que antes; cada número es la suma de los dos anteriores, pero aquí los dos primeros números son 1 y 3, no 1 y 1. Las razones de dos números de Lucas consecutivos también se aproximan a la razón áurea. Los pares de números de las espirales se convierten en (1, 3), luego (3, 4), luego (4, 7), luego (7, 11) y así sucesivamente. El ángulo al que convergen es 99,5º. Las otras ramas más cortas en el diagrama de bifurcación se corresponden con patrones que siguen sucesiones como las sucesiones de Fibonacci y Lucas, pero empezando con números diferentes. Se corresponden con los ángulos 77,9º y 151,1º y difícilmente las podemos ver en las plantas. Los cuatro pétalos de la fucsia no son el único caso de los números de Lucas en las plantas. Algunos cactus muestran un patrón de 4 espirales en una dirección y 7 en la otra, o 11 en una dirección y 18 en la otra. Una especie de Echinocactus tiene 29 nervios. Conjuntos de 47 y 76 espirales se han encontrado en girasoles. Los cactus nos llevan de manera natural a una extensión del análisis matemático de la estructura de las plantas. En los modelos que acabo de describir, los primordios son representados como objetos individuales con el aspecto de un punto y las fuerzas actúan en esos puntos. En un modelo «continuo» más realista, las fuerzas se distribuirían sobre toda la superficie del tallo que está creciendo y los primordios se desarrollarían como una consecuencia de esas fuerzas, del mismo modo que una lámina de metal se comba cuando sus aristas se comprimen. Las técnicas que se necesitan aquí vienen de una rama mayor de la física aplicada: la teoría de la elasticidad. Esta estudia cómo se comportan las formas que son capaces de curvarse o comprimirse cuando son sometidas a fuerzas externas, lo cual es usado ampliamente por los ingenieros cuando diseñan edificios, puentes y otras grandes estructuras. Si distorsionas un objeto elástico, tienes que hacer un trabajo. Piensa en estrujar una pelota de goma, por ejemplo. El trabajo que haces al estrujar la pelota se almacena en el material como una forma de energía, conocida como energía elástica. Un principio importante en la teoría de la elasticidad es que los sistemas se comportan de modo que minimizan su energía elástica. En 2004, Patrick Shipman y Alan Newell, matemáticos de la Universidad de Arizona en Tucson, aplicaron la teoría de la elasticidad a modelos continuos de brotes de plantas que estaban creciendo, poniendo especial énfasis en los cactus, los cuales están muy extendidos en Arizona. Modelizaron la formación de primordios como un tipo de plegamiento de la superficie del extremo del brote en crecimiento y mostraron que las configuraciones de energía mínima toman la forma de patrones de ondas paralelas que se superponen. Estos patrones están gobernados por dos factores: el número de ondas, el cual está relacionado con la longitud de onda, y la dirección hacia la que apuntan las ondas. La aritmética de Fibonacci, en esta aproximación, aparece porque los patrones más importantes implican la interacción de tres de estas ondas y, en las condiciones pertinentes, el número de onda para la tercera onda debe ser la suma de los otros dos números de onda. Las espirales de la piña en la figura 8 (véase pág. 44) muestran tres sistemas de líneas de los hexágonos aproximadamente paralelas; es básicamente la misma idea. De manera que este modelo llega a la aritmética de los números de Fibonacci directamente a través de la aritmética de los patrones de onda. No solo los números, sino que incluso la regla matemática para su formación, se corresponden directamente con la mecánica subyacente del extremo plegado. Cualquier botánico dirá que los extremos de una planta realmente no se pliegan, sino que crecen. De modo que aunque el modelo de elasticidad refleja algunas de las principales características de una planta que está creciendo, todavía se echaba en falta algunos ingredientes cruciales. Las fuerzas que actúan en los primordios explican su geometría, pero no explican cómo los nuevos primordios se producen y por qué aparecen en lugares donde la curvatura elástica dice que deberían aparecer. La respuesta a esta pregunta no necesita matemáticas, sino bioquímica. La formación de los primordios es dirigida por una hormona llamada auxina. Newell y sus colegas habían probado que patrones de onda similares surgen en la distribución de las auxinas. Así que la historia, como se entiende ahora, implica una interacción entre la bioquímica de una planta en crecimiento, las fuerzas mecánicas entre las células y la geometría de la planta. Las auxinas estimulan el crecimiento de los nuevos primordios. Los primordios ejercen fuerza unos sobre los otros y, en combinación con el crecimiento de la planta, estas fuerzas crean la geometría. La geometría quizá también afecte a la bioquímica de la planta, por ejemplo, provocando la producción de auxinas extra en lugares específicos. Así que hay un conjunto complejo de retroalimentación entre la bioquímica y la mecánica, la mecánica y la geometría, y la geometría y la bioquímica, y todos estos ingredientes son necesarios. Además, teorías matemáticas actuales han tenido en cuenta muchas características de la biología y la física de las plantas en crecimiento nunca soñadas en la época victoriana. Como resultado de toda esta actividad, sabemos ahora que el escepticismo de D’Arcy Thompson era