Igualando las partes imaginarias queda . . . z 2 2 cos   sen   z 2 sen 2  = es decir sen 2   2 cos   sen  = , que es otra identidad trigonométrica para el doble de un ángulo. De manera semejante. . . z 3 z cos   j sen     3 = z 3 cos  3 3 j cos  2  sen   3 cos   sen  2  j sen  3   y con n = 3 en la fórmula de De Moivre, se obtiene : z 3 = z 3 3   z 3 cos 3   j sen 3    Pedro Ferreira Herrejón 104 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH Igualando ambas expresiones para z 3 y comparando sus partes reales e imaginarias, se obtiene que : cos 3   cos 3   3 cos   sen 2  = sen 3   3 cos 2   sen 3  = dos identidades trigonométricas muy útiles para el seno y el coseno de un ángulo triple . Tomado otros valores mayores para n en la fórmula de De Moivre y siguiendo un procedimiento similar al mostrado en los ejemplos anteriores, se pueden deducir más identidades trigonométricas para los múltiplos enteros de un ángulo . 2.9 Raices de números complejos . Otra aplicación de la fórmula de De Moivre es el cálculo de las n raíces n-ésimas de un número complejo, que en general, también serán números complejos . Consideremos el número : z z cos   j sen   = y supongamos que una de sus raíces n-ésimas es el número complejo : w w cos   j sen   = lo cual significa que w n z= es decir . . . w cos   j sen     n z cos   j sen   = y por la fórmula de De Moivre. . . w n cos n   j sen n    z cos   j sen   = que se puede escribir en notación abreviada como . . . w n  n  = z   Estos dos números complejos serán iguales entre si solamente cuando sus módulos sean iguales y sus argumentos difieran a lo más en un múltiplo entero de 360º (  radianes ) . Esto significa que w n z= y n   2   k= donde k es un número entero (positivo o negativo ). En consecuencia, el módulo y el argumento de una raíz n-ésima del número complejo z tienen la forma: Pedro Ferreira Herrejón 105 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH w n z= ( El módulo de la raíz n-ésima de z es igual a la raíz n-ésima del módulo de z )   2   k n = ( El argumento de la raíz n-ésima de z es igual a la n-ésima parte de la suma del argumento de z y un múltiplo entero de 360º ). Por otra parte, debido a que las funciones trigonométricas seno y coseno que determinan la forma polar de un número complejo, son periódicas ( su periodo es 2 ) , resulta que las raíces de z se repiten si k n puesto que el ángulo  se incrementa precisamente en un múltiplo entero de 2  cuando k n= . Por ejemplo si k toma el valor n 3 , entonces el argumento de la raiz sería . . .   2   n 3( ) n = =  2   3 n       2  n n        =  3 2   n       2  el mismo que el obtenido con k 3= . Por lo tanto, k está limitado a los n valores posibles : k = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , n 1( ) y para cada uno de ellos se obtendrá una de las raices n-ésimas de z . En resumen, la n-ésima raíz de un número complejo z escrito en forma polar, es otro número complejo w n z= n z cos  2  k n       j sen  2  k n             ó en forma polar. . . w = n z   2  k n       ( 2.19 ) donde . . . la primera raiz se obtiene haciendo k 0= y es : w0 = n z   0 n       la segunda raiz se obtiene haciendo k 1= y es : w1 = n z   2  n       Pedro Ferreira Herrejón 106 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH la tercera raiz se obtiene haciendo k 2= y es : w2 = n z   4  n       la cuarta raiz se obtiene haciendo k 3= y es : w3 = n z 