_2 4 Ecuaciones Exactas (1)

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2.4 Ecuaciones Exactas 
Sea la siguiente ecuación diferencial: 	
𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 
 Se puede resolver por variables separables 
𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 
(
𝑑𝑥
𝑥
+(
𝑑𝑦
𝑦
= 𝑐		 → 		𝑙𝑛𝑥 + 𝑙𝑛𝑦 = 𝑐 
ln(𝑥𝑦) = 𝑐 
𝑥𝑦 = 𝑒! 
𝑥𝑦 = 𝑐 
𝑦 =
𝑐
𝑥
 
Existe otra forma de resolver la ecuación anterior, poniendo el lado izquierdo como d(x y), entonces: 
d(x y) = 0 
integrando se tiene: 𝑥𝑦 = 𝑐	 → 		𝑦 = !
"
 
 
Entonces surgen las siguientes interrogantes: 
¿Siempre se puede expresar como un diferencial exacto? 
¿Cómo determinar el diferencial exacto? 
 
Consideremos una función con dos variables 
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 
El diferencial total de z es 
𝑑𝑧 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑑𝑥) +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑑𝑦) 
Considerando un caso especial: 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 
 
(
𝜕𝑓
𝜕𝑥
)𝑑𝑥 + (
𝜕𝑓
𝜕𝑦
)𝑑𝑦 = 0 
Es decir que se puede obtener una ecuación diferencial, que se puede expresar de la siguiente 
manera: 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 
donde: 
𝑀(𝑥, 𝑦) = #$
#"
	 y 𝑁(𝑥, 𝑦) = #$
#%
 
 
 
 
 
 
(Tomado de Zill – Cullen, 2009) 
 
Proceso de solución 
 
i) A partir de 
#$
#"
= 𝑀(𝑥, 𝑦) 
 
Se puede determinar f integrando M (x, y) con respecto a x mientras y se conserva 
constante. 
𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦) 
 
Donde g(y) es la constante de integración 
 
ii) Derivar f (x, y) con respecto a y . Se sabe que 	𝑑𝑓 𝑑𝑦⁄ = 𝑁(𝑥, 𝑦) 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
(𝑀(𝑥, 𝑦)	𝑑𝑥 + 𝑔&(𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦) 
 
Se obtiene g(y) 
 
 
Ejercicios 
3.- (𝟓𝒙 + 𝟒𝒚)𝒅𝒙 + @𝟒𝒙 − 𝟖𝒚𝟑C𝒅𝒚 = 𝟎 
i) Comprobando si es exacta: 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 
𝑀(𝑥, 𝑦) = 5𝑥 + 4𝑦 
𝑁(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 − 8𝑦( 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
(5𝑥 + 4𝑦) = 4 
 Iguales, entonces es exacta 
𝜕𝑁
𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
(4𝑥 − 8𝑦() = 4 
ii) Solución 
(
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= (𝑀(𝑥, 𝑦) 
 𝑀(𝑥, 𝑦) = 5𝑥 + 4𝑦 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 	(𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 	((5𝑥 + 4𝑦)	𝑑𝑥 
𝑓(𝑥, 𝑦) = (5𝑥	𝑑𝑥 + (4𝑦 	𝑑𝑥 =
5
2
(𝑥)) + 4	(𝑦	𝑥) + 𝑔(𝑦) 
Derivando con respecto a y: 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
	(	
5
2
(𝑥)) + 4(	𝑦	𝑥) + 𝑔(𝑦)) 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 4𝑥 + 𝑔′(𝑦) 
#$
#%
= 𝑁	(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 − 8𝑦( 
Entonces 
4𝑥 − 8𝑦( = 4𝑥 + 𝑔′(𝑦) 
Simplificando 
−8𝑦( = 𝑔′(𝑦) 
Integrando 
(𝑔′(𝑦) = −((8𝑦()𝑑𝑦 
 
𝑔(𝑦) = −2𝑦* 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐶 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) =
5
2
𝑥) + 4𝑥𝑦 − 2𝑦* 
Por lo tanto, 
5
2
𝑥) + 4𝑥𝑦 − 2𝑦* = 𝐶 
 
 
8.- K𝟏 + 𝒍𝒏(𝒙) + 𝒚
𝒙
O𝒅𝒙 − @𝟏 − 𝒍𝒏(𝒙)C𝒅𝒚 = 𝟎 
i) Comprobando si es exacta: #-
#%
= #.
#"
 
𝑀(𝑥, 𝑦) = K1 + 𝑙𝑛(𝑥) +
𝑦
𝑥
O 
𝑁(𝑥, 𝑦) = −@1 − 𝑙𝑛(𝑥)C 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
K1 + 𝑙𝑛(𝑥) +
𝑦
𝑥
O =
1
𝑥
 
 
𝜕𝑁
𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
@−1 + 𝑙𝑛(𝑥)C =
1
𝑥
 
ii) Solución 
𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑀(𝑥, 𝑦)	𝑑𝑥 
 
(Q1 + 𝑙𝑛(𝑥) + K
𝑦
𝑥
OR 𝑑𝑥 = (𝑑𝑥 +( 𝑙𝑛𝑥	𝑑𝑥 + 	𝑦(
𝑑𝑥
𝑥
 
 
 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥	 → 𝑑𝑢 = /
"
𝑑𝑥 
 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥	 → 𝑣 = 𝑥 
 
= 𝑥 + (𝑥	𝑙𝑛𝑥 − 𝑥) + 𝑦	𝑙𝑛𝑥 + 𝑔(𝑦) 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥	𝑙𝑛𝑥 + 𝑦	𝑙𝑛𝑥 + 𝑔(𝑦) 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
[𝑥 ln(𝑥) + 𝑦 ln(𝑥) + 𝑔(𝑦)] 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= ln(𝑥) + 𝑔′(𝑦) 
Se sabe que 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦) = −1 + ln	(𝑥) 
Reemplazando #$
#%
 
ln(𝑥) + 𝑔′(𝑦) = −1 + ln	(𝑥) 
 
𝑔′(𝑦) = −1 
Integrando 
(−1𝑑𝑦 = (𝑔′(𝑦)𝑑𝑦 
𝑔(𝑦) = −𝑦 
Por lo tanto, 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥	𝑙𝑛(𝑥) + 𝑦 ln(𝑥) − 𝑦 
 
𝑥	𝑙𝑛(𝑥) + 𝑦 ln(𝑥) − 𝑦 = 𝐶 
 
 
 
 
• Factor integrante 
Cuando la ecuación diferencial no es exacta, se puede calcular si es posible un factor integrante 
que transforme la ecuación diferencial no exacta en exacta. 
Multiplicando la ecuación diferencial por el factor integrante: 𝜇(𝑥, 𝑦) 
𝜇(𝑥, 𝑦)𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 	𝜇(𝑥, 𝑦)𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 
Paraque sea exacta: #-
#%
= #.
#"
 
𝜇%	𝑀 + 𝜇	𝑀% = 𝜇"	𝑁 + 𝜇	𝑁" 
𝜇	𝑀% − 𝜇	𝑁" = 𝜇"	𝑁 − 𝜇%	𝑀 
𝜇@	𝑀% − 	𝑁"C = 𝜇"	𝑁 − 𝜇%	𝑀 
Esta última es una ecuación diferencial parcial, que no se ha estudiado su proceso de solución, por 
lo que para resolver la ecuación, se hacen las consideraciones: 
i) Si 𝜇 = 𝑓(𝑥), → 𝜇% = 0. Entonces 
𝜇@	𝑀% − 	𝑁"C = 𝜇"	𝑁 
𝜇@	𝑀% − 	𝑁"C =
𝑑𝜇
𝑑𝑥
	𝑁 
𝑑𝜇
𝑑𝑥
=
𝜇@	𝑀% − 	𝑁"C
𝑁
 
𝑑𝜇
𝜇
=
@	𝑀% − 	𝑁"C
𝑁
	𝑑𝑥 
Para integrar, 
0	-!2	."3
.
 debe ser función de x 
(
𝑑𝜇
𝜇
= (
@	𝑀% − 	𝑁"C
𝑁
𝑑𝑥 
ln(𝑢) = (
@	𝑀% − 	𝑁"C
𝑁
𝑑𝑥 
𝜇 = 𝑒∫
0	-!2	."3
. 5" 
ii) Si 𝜇 = 𝑓(𝑦) → 	𝜇" = 0. Haciendo un proceso análogo, se llega a: 
	
𝜇 = 𝑒∫
0	."2	-!3
- 5% 
 
 
Ejercicio 
 
31.- @𝟐𝒚𝟐 + 𝟑𝒙C	𝒅𝒙 + (𝟐𝒙𝒚)	𝒅𝒚 = 𝟎 
i) Probando si es exacta #-
#%
= #.
#"
 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
(2𝑦) + 3𝑥) = 4𝑦 
 
𝜕𝑁
𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
(2𝑥𝑦) = 2𝑦 
 
No se cumple la condición, por lo cual hay que hallar el factor integrante 
	𝑀% = 4𝑦 
	𝑁" = 2𝑦 
𝑁 = 2𝑥𝑦 
Sustituyendo en la ecuación obtenida : 
0	-!2	."3
.
 
4𝑦 − 2𝑦
2𝑥𝑦
=
2𝑦
2𝑥𝑦
=
1
𝑥
	→ 𝑒𝑠	𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛	𝑑𝑒	𝑥 
Ahora se calcula 𝜇 = 𝑒∫
#	%!&	'"(
' 5" 
𝜇 = 𝑒∫(
/
")5" =		 𝑒9:	(") 
𝜇 = 𝑥	 → 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟	𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 
Se multiplica la ecuación diferencial por el factor integrante 
(2𝑦)𝑥 + 3𝑥))	𝑑𝑥 + (2𝑥)𝑦)	𝑑𝑦 = 0 
- Comprobación de que si es exacta 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
(2𝑦)𝑥 + 3𝑥)) = 4𝑦𝑥 
 Exacta 
𝜕𝑁
𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
(2𝑥)𝑦) = 4𝑦𝑥 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑀(𝑥, 𝑦)	𝑑𝑥 
= ((2𝑦)𝑥 + 3𝑥))	𝑑𝑥 
= 2(
𝑦)𝑥)
2
) + 3(
𝑥(
3
) + 𝑔(𝑦) 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦)𝑥) + 𝑥( + 𝑔(𝑦) 
Para g(y) 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
	[(𝑦)𝑥)) + 𝑥( + 𝑔(𝑦)] 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 2𝑥)𝑦 + 𝑔&(𝑦) 
2𝑥)𝑦 = 2𝑥)𝑦 + 𝑔&(𝑦) 
(0𝑑𝑥 = (𝑔&(𝑦) 
𝑔(𝑦) = 𝑘 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦)𝑥) + 𝑥( + 𝑘 
𝑦)𝑥) + 𝑥( + 𝑘 = 𝐶	 → 		 𝑦)𝑥) + 𝑥( = 𝐶 − 𝐾 
 
𝑦)𝑥) + 𝑥( = 𝑪