CEJS_S2y3

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Serie del Tema 2 y 3. Probabilidad Grupo:14 Semestre 2021-1 
Cervantes Enriquez Joshua Sinuhé. 
 
1. Una gasolinera tiene dos islas, una de autoservicio y otra de servicio completo. En cada isla hay 
una sola bomba de gasolina sin plomo con dos mangueras. Sea X el número de mangueras que se 
está usando en una isla de autoservicio en determinado momento, y sea Y el número de mangueras 
en uso en la isla de servicio completo en ese momento. La fmp conjunta de X y Y se ilustra en la tabla 
siguiente. 
 
 
 
 
 
 
a) ¿Cuál es 𝑷(𝑿 = 𝟏, 𝒀 = 𝟏) ? 
 𝑃(𝑋 = 1, 𝑌 = 1) = 0.20 
 
b) Calcular es 𝑷(𝑿 ≤ 𝟏, 𝒀 ≤ 𝟏) 
 
𝑃(𝑋 ≤ 1, 𝑌 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 0, 𝑌 = 0) + 𝑃(𝑋 = 0, 𝑌 = 1) + 𝑃(𝑋 = 1, 𝑌 = 0) 
+ 𝑃(𝑋 = 1, 𝑌 = 1) 
𝑃(𝑋 ≤ 1, 𝑌 ≤ 1) = 0.10 + 0.04 + 0.08 + 0.20 
𝑃(𝑋 ≤ 1, 𝑌 ≤ 1) = 0.42 
 
c) Describir con palabras el evento {𝑿 ≠ 𝟎 𝒚 𝒀 ≠ 𝟎}, y calcular la probabilidad de este evento. 
 
El evento donde al menos una manguera está en uso en cada bomba. 
 
𝑃(𝑋 ≠ 0, 𝑌 ≠ 0) = 𝑃(𝑋 = 1, 𝑌 = 1) + 𝑃(𝑋 = 1, 𝑌 = 2) + 𝑃(𝑋 = 2, 𝑌 = 1) 
+ 𝑃(𝑋 = 2, 𝑌 = 2) 
𝑃(𝑋 ≠ 0, 𝑌 ≠ 0) = 0.20 + 0.06 + 0.14 + 0.3 
𝑃(𝑋 ≠ 0, 𝑌 ≠ 0) = 0.70 
 
d) Calcular la función de probabilidad marginal de X y Y. Por medio de 𝒇𝑿(𝒙), ¿cuál es 𝑃(𝑋 ≤ 1)? 
 
x 0 1 2 
𝒇𝑿(𝒙) 0.16 0.34 0.5 
 
x 0 1 2 
𝒇𝒀(𝒚) 0.24 0.38 0.38 
 
Por medio de 𝒇𝑿(𝒙), ¿cuál es 𝑃(𝑋 ≤ 1)? 
 
𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) 
𝑃(𝑋 ≤ 1) = 0.16 + 0.34 
𝑃(𝑋 ≤ 1) = 0.50 
 
e) ¿Son X y Y variables aleatorias independientes? Explicar su respuesta. 
 
𝑓𝑋(𝑥)𝑓𝑌(𝑦) = 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) 
𝑓𝑋(0)𝑓𝑌(0) = 𝑓𝑋𝑌(0,0) 
(0.16)(0.24) = 0.10 
0.0384 ≠ 0.10 ∴ 𝑁𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑣. 𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
 
2. En cierto supermercado hay dos filas, una para la caja rápida y otra para la superveloz. Sea el 
número de clientes en la fila de la caja rápida en determinado momento del día y sea el número de 
clientes en la fila de la caja superveloz en el mismo momento. Supóngase que la función de 
probabilidad conjunta de y es como se da en la tabla siguiente. 
 
 
 
 
 
 
a) ¿Cuál es 𝑷(𝑿𝟏 = 𝟏, 𝑿𝟐 = 𝟏),esto es, la probabilidad de que haya exactamente un cliente en cada 
línea de espera? 
 
𝑃(𝑋1 = 1, 𝑋2 = 1) = 0.15 
 
b) ¿Cuál es 𝑷(𝑿𝟏 = 𝑿𝟐) , esto es, la probabilidad de que los números de clientes de las dos líneas de 
espera sean iguales? 
 
𝑃(𝑋1 = 𝑋2) = 𝑃(𝑋1 = 0, 𝑋2 = 0) + 𝑃(𝑋1 = 1, 𝑋2 = 1) + 𝑃(𝑋1 = 2, 𝑋2 = 2) + 𝑃(𝑋1 = 3, 𝑋2 = 3) 
𝑃(𝑋1 = 𝑋2) = 0.08 + 0.15 + 0.10 + 0.07 
𝑃(𝑋1 = 𝑋2) = 0.4 
 
c) Representar con el evento A en que haya por lo menos dos clientes más en una línea de espera 
que en la otra. Expresar A en términos de X1 y X2 y calcular la probabilidad de este evento. 
 
𝑃(𝑋1 ≥ 𝑋2 + 2) = 𝑃(𝑋1 = 2, 𝑋2 = 0) + 𝑃(𝑋1 = 3, 𝑋2 = 0) + 𝑃(𝑋1 = 4, 𝑋2 = 0) + 𝑃(𝑋1 = 3, 𝑋2 = 1) 
+𝑃(𝑋1 = 4, 𝑋2 = 1) + 𝑃(𝑋1 = 4, 𝑋2 = 2) 
 
 
𝑃(𝑋1 ≥ 𝑋2 + 2) = 0.05 + 0 + 0 + 0.03 + 0.01 + 0.05 
𝑃(𝑋1 ≥ 𝑋2 + 2) = 0.14 
Tenemos otro caso donde: 
 
𝑃(𝑋1 + 2 ≤ 𝑋2) = 𝑃(𝑋1 = 0, 𝑋2 = 2) + 𝑃(𝑋1 = 0, 𝑋2 = 3) + 𝑃(𝑋1 = 1, 𝑋2 = 3) 
𝑃(𝑋1 + 2 ≤ 𝑋2) = 0.04 + 0 + 0.04 
𝑃(𝑋1 + 2 ≤ 𝑋2) = 0.08 
Sumamos ambas probabilidades: 
 
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝑋1 ≥ 𝑋2 + 2) + 𝑃(𝑋1 + 2 ≤ 𝑋2) = 0.14 + 0.08 
𝑃(𝐴) = 0.22 
 
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el número total de clientes de las dos líneas de espera sea 
exactamente cuatro? ¿Por lo menos de cuatro? 
 
𝑃(𝑋1 + 𝑋2 = 4) = 𝑃(𝑋1 = 4, 𝑋2 = 0) + 𝑃(𝑋1 = 3, 𝑋2 = 1) + 𝑃(𝑋1 = 2, 𝑋2 = 2) + 𝑃(𝑋1 = 1, 𝑋2 = 3) 
𝑃(𝑋1 + 𝑋2 = 4) = 0 + 0.03 + 0.10 + 0.04 
𝑃(𝑋1 + 𝑋2 = 4) = 0.17 
 
𝑃(𝑋1 + 𝑋2 ≥ 4) = 𝑃(𝑋1 = 4, 𝑋2 = 0) + 𝑃(𝑋1 = 3, 𝑋2 = 1) + 𝑃(𝑋1 = 2, 𝑋2 = 2) + 𝑃(𝑋1 = 1, 𝑋2 = 3) 
 + 𝑃(𝑋1 = 4, 𝑋2 = 1) + 𝑃(𝑋1 = 3, 𝑋2 = 2) + 𝑃(𝑋1 = 2, 𝑋2 = 3) + 𝑃(𝑋1 = 4, 𝑋2 = 2) 
 +𝑃(𝑋1 = 3, 𝑋2 = 3) + 𝑃(𝑋1 = 4, 𝑋2 = 3) 
 
𝑃(𝑋1 + 𝑋2 ≥ 4) = 0 + 0.03 + 0.10 + 0.04 + 0.01 + 0.04 + 0.06 + 0.05 + 0.07 + 0.06 
𝑃(𝑋1 + 𝑋2 ≥ 4) = 0.46 
 
3. Si tres variables aleatorias tienen la densidad conjunta 
 
 
 
Calcular: 
a) El valor apropiado de K 
 
∫ ∫ ∫ 𝐾(𝑥 + 𝑦)𝑒−𝑧𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
∞
0
2
0
1
0
= 1 
3𝐾 = 1 
𝐾 =
1
3
 
 
b) La probabilidad de que 𝒙 < 𝒚 𝑦 𝒛 > 𝟏 
 
 
∫ ∫ ∫
1
3
(𝑥 + 𝑦)𝑒−𝑧𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
∞
1
2
𝑥
1
0
=
5
6𝑒
= 0.3065 
 
4. Un ingeniero ecologista mide la cantidad (por peso) de un contaminante particular en unas muestras 
de aire de cierto volumen recogidas sobre la chimenea de una central de energía eléctrica que funciona 
con carbón. Sea X la cantidad del contaminante por muestra recogida cuando no está funcionando 
cierto dispositivo de limpieza en la chimenea, y sea Y la cantidad del contaminante por muestra 
recogida bajo las mismas condiciones ambientales cuando el dispositivo está trabajando. Se observa 
que el comportamiento de la frecuencia relativa de X y Y puede tener el modelo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Determinar el valor k de que hace de esta función una función de densidad. 
 
∫ ∫ 𝑘 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1
𝑥
2
0
2
0
 
𝑘 = 1 
 
b) Calcular 𝑃(𝑋 ≥ 3𝑌) . (Es decir, encuentre la probabilidad de que el dispositivo de limpieza reduzca 
la cantidad de contaminante en un tercio o más.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃(𝑋 ≥ 3𝑌) = ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥
3
0
2
0
=
2
3
 
 
5. Considérese la función de densidad conjunta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Obtener el valor de k para el cual es una función de densidad conjunta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[∫ ∫ 𝑘𝑥
−𝑦+4
−𝑦+2
𝑑𝑥𝑑𝑦 +
2
0
∫ ∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦
−𝑦+4
0
4
2
] = 1 
[8𝑘 +
4𝑘
3
] = 1 
28𝑘
3
= 1 
𝑘 =
3
28
 
 
b) Determinar 𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 3) = ∫ ∫
3
28
𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥
−𝑥+4
−𝑥+2
2
1
+ ∫ ∫
3
28
𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥
−𝑥+4
0
3
2
 
 
𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 3) =
9
28
+
11
28
 
𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 3) =
20
28
=
5
7
 
 
6. Un instructor ha dado un breve cuestionario que consta de dos partes. Para un estudiante 
seleccionado al azar, sea X el número de puntos ganados en la primera parte, y Y el número de puntos 
ganados en la segunda parte, y suponer que la función masa de probabilidad conjunta de X y Y está 
dada en la tabla siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
a) Obtener la covariancia, 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌). 
 
Calculamos las marginales. 
x 0 5 10 
𝒇𝑿(𝒙) 0.2 0.49 0.31 
 
y 0 5 10 15 
𝒇𝒀(𝒚) 0.07 0.36 0.36 0.21 
 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌) 
 
 
𝐸(𝑋𝑌) = ∑ ∑ 𝑥𝑦 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)
15
𝑦=0
10
𝑥=0
 
𝐸(𝑋𝑌) = (5)(5)(0.15) + (5)(10)(0.20) + (5)(15)(0.10) + (10)(5)(0.15)
+ (10)(10)(0.14) + (10)(15)(0.01) 
𝐸(𝑋𝑌) = 3.75 + 10 + 7.5 + 7.5 + 14 + 1.5 
𝐸(𝑋𝑌) = 44.25 
 
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑓𝑋(𝑥)
10
𝑥=0
 
𝐸(𝑋) = (5)(0.49) + (10)(0.31) 
𝐸(𝑋) = 2.45 + 3.1 
𝐸(𝑋) = 5.55 
 
𝐸(𝑌) = ∑ 𝑦 𝑓𝑌(𝑦)
15
𝑦=0
 
𝐸(𝑌) = (5)(0.36) + (10)(0.36) + (15)(0.21) 
𝐸(𝑌) = 1.8 + 3.6 + 3.15 
𝐸(𝑌) = 8.55 
 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 44.25 − (5.55)(8.55) 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 44.25 − 47.4525 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = −3.2025 
 
b) Calcular el coeficiente de correlación, 𝜌 (𝑋, 𝑌) 
 
𝜌 (𝑋, 𝑌) =
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝜎𝑋𝜎𝑌
=
𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌)
√𝑉𝑎𝑟(𝑋)√𝑉𝑎𝑟(𝑌)
 
 
𝐸(𝑋2) = ∑ 𝑥2 𝑓𝑋(𝑥)
10
𝑥=0
 
𝐸(𝑋2) = (5)2(0.49) + (10)2(0.31) 
𝐸(𝑋2) = 12.25 + 31 
𝐸(𝑋2) = 43.25 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 43.25 − (5.55)2 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 12.4475 
 
𝐸(𝑌2) = ∑ 𝑦2 𝑓𝑌(𝑦)
15
𝑦=0
 
𝐸(𝑌2) = (5)2(0.36) + (10)2(0.36) + (15)2(0.21) 
𝐸(𝑌2) = 9 + 36 + 47.25 
𝐸(𝑌2) = 92.25 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝐸(𝑌2) − [𝐸(𝑌)]2 
𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 92.25 − (8.55)2 
𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 19.1475 
 
𝜌 (𝑋, 𝑌) =
−3.2025
√12.4475√19.1475
 
 
𝜌 (𝑋, 𝑌) = −0.2074 
 
 
 
 
7. Sean X1 y X2 las proporciones de dos sustancias distintas que se encuentran en una muestra de 
una mezcla de reactivos que se usa como insecticida.Supóngase que X1 y X2 tienen una densidad de 
probabilidad conjunta representada por 
 
a) Calcular 𝑃(𝑋1 ≤
3
4
 , 𝑋2 ≤
3
4
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃 (𝑋1 ≤
3
4
 , 𝑋2 ≤
3
4
) = ∫ ∫ 2 𝑑𝑥2𝑑𝑥1 +
3
4
0
∫ ∫ 2 𝑑𝑦𝑑𝑥
1−𝑥1
0
3
4
1
4
1
4
0
 
𝑃 (𝑋1 ≤
3
4
 , 𝑋2 ≤
3
4
) =
7
8
 
 
b) Calcular 𝑃(𝑋1 ≤
1
2
 , 𝑋2 ≤
1
2
) 
 
 
 
 
 
 
𝑃 (𝑋1 ≤
1
2
 , 𝑋2 ≤
1
2
) = ∫ ∫ 2 𝑑𝑥2𝑑𝑥1
1
2
0
1
2
0
 
𝑃 (𝑋1 ≤
1
2
 , 𝑋2 ≤
1
2
) =
1
2
 
 
c) Calcular 𝑃 (𝑋1 ≤
1
2
 | 𝑋2 ≤
1
2
) 
𝑃 (𝑋1 ≤
1
2
 | 𝑋2 ≤
1
2
) =
𝑃 (𝑋1 ≤
1
2
 , 𝑋2 ≤
1
2)
𝑃 ( 𝑋2 ≤
1
2)
 
 
𝑃 ( 𝑋2 ≤
1
2
) = ∫ ∫ 2 𝑑𝑥1𝑑𝑥2
1−𝑥2
0
1
2
0
=
3
4
 
𝑃 (𝑋1 ≤
1
2
 | 𝑋2 ≤
1
2
) =
1
2
3
4
=
2
3
 
 
8. Se seleccionan al azar dos tabletas de un frasco que contiene tres aspirinas, dos sedantes y cuatro 
laxantes. 
a) Encontrar la función de probabilidad conjunta 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦); donde X es la variable aleatoria que 
representa el número de aspirinas e Y la variable aleatoria que representa el número de laxantes. 
 
9 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 {
3 𝑎𝑠𝑝𝑖𝑟𝑖𝑛𝑎𝑠
4 𝑙𝑎𝑥𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
2 𝑠𝑒𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
 
X= Aspirinas Y= Laxantes 
 
P (X, Y) para 0 sedantes. 
𝑃(2,0) =
(3
2
)(4
0
)(2
0
)
(9
2
)
=
3
36
 
𝑃(1,1) =
(3
1
)(4
1
)(2
0
)
(9
2
)
=
12
36
 
𝑃(0,2) =
(3
0
)(4
2
)(2
0
)
(9
2
)
=
6
36
 
P (X, Y) para 1 sedantes. 
𝑃(1,0) =
(3
1
)(4
0
)(2
2
)
(9
2
)
=
6
36
 
𝑃(0,1) =
(3
0
)(4
1
)(2
1
)
(9
2
)
=
8
36
 
 
P (X, Y) para 2 sedantes. 
𝑃(1,0) =
(3
0
)(4
0
)(2
2
)
(9
2
)
=
1
36
 
 
𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) 
y 
0 1 2 3 4 
 
 
x 
0 1
36
 
8
36
 
6
36
 
0 0 
1 6
36
 
12
36
 
0 0 0 
2 3
36
 
0 0 0 0 
3 0 0 0 0 0 
 
b) Obtener E(XY). 
 
𝐸(𝑋𝑌) = ∑ ∑ 𝑥𝑦 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)
4
𝑦=0
3
𝑥=0
 
𝐸(𝑋𝑌) = (1)(1) (
12
36
) 
𝐸(𝑋𝑌) =
12
36
=
1
3
 
 
c) Calcular 𝑃(𝑋 < 2, 𝑌 > 1) 
𝑃(𝑋 < 2, 𝑌 > 1) =
6
36
=
1
6
 
 
9. Un restaurante de bocadillos se interesa en el comportamiento conjunto de las variables aleatorias 
Y1, que se define como el tiempo total entre la llegada de un cliente al local hasta que deja la ventanilla 
de servicio, y Y2, que es el tiempo que espera el cliente en la fila antes de llegar a la ventanilla de 
servicio. Como Y1 contiene al tiempo que el cliente espera en la fila, entonces Y1 ≥ Y2. La distribución 
de frecuencia relativa de los valores observados de Y1 y Y2 se pueden modelar mediante la función de 
densidad de probabilidad 
 
 
 
 
a) Calcular 𝑃(𝑌1 < 2, 𝑌2 > 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃(𝑌1 < 2, 𝑌2 > 1) = ∫ ∫ 𝑒
−𝑦1 
𝑦1
1
2
0
𝑑𝑦2𝑑𝑦1 
𝑃(𝑌1 < 2, 𝑌2 > 1) =
−1 + 𝑒 − 1
𝑒2(1)2
=
−2 + 𝑒
𝑒2
= 0.0972 
b) Determinar 𝑃(𝑌1 ≥ 2𝑌2) 
 
 
 
 
𝑃(𝑌1 ≥ 2𝑌2) = ∫ ∫ 𝑒
−𝑦1 
𝑦1
2
0
∞
0
𝑑𝑦2𝑑𝑦1 
𝑃(𝑌1 ≥ 2𝑌2) =
1
2
 
c) Calcular 𝑃(𝑌1 − 𝑌2 ≥ 1) 
 
 
 
𝑃(𝑌1 − 𝑌2 ≥ 1) = ∫ ∫ 𝑒
−𝑦1 
𝑦1−1
0
∞
1
𝑑𝑦2𝑑𝑦1 
𝑃(𝑌1 − 𝑌2 ≥ 1) =
1
𝑒
= 0.3678 
 
d) Calcular las funciones de densidad marginal para Y1 y Y2 
 
𝑓𝑌1(𝑦1) = ∫ 𝑒
−𝑦1 𝑑𝑦2
𝑦1
0
= 𝑦1𝑒
−𝑦1 
𝑓𝑌1(𝑦1) = {
 𝑦1𝑒
−𝑦1 ; 0 ≤ 𝑦1 < ∞
0 ; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
 
𝑓𝑌2(𝑦2) = ∫ 𝑒
−𝑦1 𝑑𝑦1
∞
𝑦2
= 𝑒−𝑦2 
𝑓𝑌2(𝑦2) = {
𝑒−𝑦2 ; 0 ≤ 𝑦2 < ∞
0 ; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
 
e) Si se sabe que el tiempo total de espera y de atención para un cliente será de más de dos minutos, 
calcular la probabilidad de que el tiempo que dicho cliente espera para que le atiendan sea menor de 
un minuto. 
𝑃(𝑌2 < 1| 𝑌1 ≥ 2) =
𝑃(𝑌2 < 1, 𝑌1 ≥ 2)
𝑃(𝑌1 ≥ 2)
 
 
𝑃(𝑌2 < 1, 𝑌1 ≥ 2) = ∫ ∫ 𝑒
−𝑦1 
1
0
∞
2
𝑑𝑦2𝑑𝑦1 =
1
𝑒2
 
𝑃(𝑌1 ≥ 2) = ∫ 𝑦1𝑒
−𝑦1
∞
2
𝑑𝑦1 =
3
𝑒2
 
𝑃(𝑌2 < 1| 𝑌1 ≥ 2) =
1
𝑒2
3
𝑒2
=
1
3
 
 
f) Calcular 𝐸(𝑌1 − 𝑌2). 
 
𝐸(𝑌1 − 𝑌2) = ∫ ∫ (𝑦1 − 𝑦2)(𝑒
−𝑦1) 𝑑𝑦2𝑑𝑦1
𝑦1
0
∞
0
= 1 
𝐸(𝑌1 − 𝑌2) = 1 
 
g) Calcular 𝑉𝑎𝑟 (𝑌1 − 𝑌2). 
𝑉𝑎𝑟 (𝑌1 − 𝑌2) = 𝐸[(𝑌1 − 𝑌2)
2] − 𝐸[𝑌1 − 𝑌2]
2 
𝐸[(𝑌1 − 𝑌2)
2] = ∫ ∫ (𝑦1 − 𝑦2)
2(𝑒−𝑦1) 𝑑𝑦2𝑑𝑦1
𝑦1
0
∞
0
= 2 
𝑉𝑎𝑟 (𝑌1 − 𝑌2) = 2 − (1)
2 
𝑉𝑎𝑟 (𝑌1 − 𝑌2) = 1 
 
h) ¿Será muy probable que un cliente pase más de dos minutos en la ventanilla de servicio? 
 
𝑃(𝑌1 − 𝑌2 > 2) 
 
 
𝑃(𝑌1 − 𝑌2 > 2) = ∫ ∫ 𝑒
−𝑦1 
𝑦1−2
0
∞
2
𝑑𝑦2𝑑𝑦1 
𝑃(𝑌1 − 𝑌2 > 2) =
1
𝑒2
= 0.1353 
∴ 𝐸𝑠 𝑝𝑜𝑐𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑒 𝑚á𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑖𝑙𝑙𝑎. 
10. Sea X el nivel de calcio en la sangre de un individuo y Y el nivel de colesterol, también en su 
sangre. Supóngase que la densidad conjunta de X, Y está dada por: 
 
 
 
a) Obtener 𝑓𝑋|𝑦(𝑥|𝑦). 
𝑓𝑋(𝑥) = ∫
1
240
 𝑑𝑦
240
120
=
1
2
 
𝑓𝑋(𝑥) = { 
1
2
; 8.5 ≤ 𝑥 ≤ 10.5
0; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
 
𝑓𝑌(𝑦) = ∫
1
240
 𝑑𝑥
10.5
8.5
=
1
120
 
𝑓𝑌(𝑦) = { 
1
120
; 120 ≤ 𝑦 ≤ 240
0; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
 
𝑓𝑋|𝑦(𝑥|𝑦) =
1
240
1
120
=
1
2
 
𝑓𝑋|𝑦(𝑥|𝑦) = {
 
1
2
; 8.5 ≤ 𝑥 ≤ 10.5
0; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
 
¿Son 𝑓𝑋|𝑦(𝑥|𝑦) y 𝑓𝑋(𝑥) iguales? Sí son iguales. ¿cuál es la razón de la respuesta anterior? 
𝑓𝑋(𝑥)𝑓𝑦(𝑦) = 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) 
(
1
2
) (
1
120
) =
1
240
 
 
∴ 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑥 𝑛𝑖 𝑑𝑒 𝑦. 
 
 
b) Obtener 𝑓𝑌|𝑥(𝑦|𝑥). 
𝑓𝑌|𝑥(𝑦|𝑥) =
1
240
1
2
=
1
120
 
𝑓𝑌|𝑥(𝑦|𝑥) = {
 
1
120
; 120 ≤ 𝑥 ≤ 240
0; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 
 
 
 
¿Son 𝑓𝑌|𝑥(𝑦|𝑥) y 𝑓𝑌(𝑦). iguales? Sí son iguales. 
c) Determinar la curva de regresión de X dado y y la de Y dado x. 
 
�̂� = ∫ 𝑦
240
120
 (
1
120
) 𝑑𝑦 �̂� = ∫ 𝑥
10.5
8.5
 (
1
12
) 𝑑𝑥 
�̂� = 180 �̂� = 9.5 
 
¿Son lineales estas curvas? 
Como las variables son independientes el coeficiente de correlación 𝜌 = 0, entonces las curvas no son 
lineales. 
 
11. Naye y Gaby han acordado reunirse para tomar un refrigerio entre el medio día (0:00 p.m.) y la 
1:00 p.m. Denote la hora de llegada de Naye por X, la de Gaby por Y, y suponga que y son 
independientes con densidad de probabilidad 
 
 
 
 
¿Cuál es la cantidad de tiempo esperada de quien llegue primero debe esperar a la otra persona? 
(Sugerencia: 𝐻(𝑋, 𝑌) = |𝑋 − 𝑌|) 
 
𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) = {
 6𝑥2𝑦 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 , 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
0 ; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
 
 
𝐸[𝐻(𝑋, 𝑌)] = ∫ ∫ 6𝑥2𝑦(|𝑥 − 𝑦|)
1
0
1
0
𝑑𝑦𝑑𝑥 
 
𝐸[𝐻(𝑋, 𝑌)] =
1
4
= 0.25 
 
12. Un restaurante sirve tres comidas de precio fijo que cuestan $7.00, $9.00 y $10.00. Para una pareja 
seleccionada al azar que va a comer a ese restaurante, sea X la variable aleatoria que representa el 
costo de la comida del hombre y Y la variable aleatoria que representa el costo de la comida de la 
mujer. La función de probabilidad de X y Y está dada en la siguiente tabla: 
 
 
 
 
 
a) Calcular las funciones marginales de las variables aleatorias. 
 
x 7 9 10 
𝒇𝑿(𝒙) 0.20 0.50 0.30 
 
 
y 7 9 10 
𝒇𝒀(𝒚) 0.10 0.35 0.55 
 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la comida del hombre y la mujer cuesten a lo sumo $9 cada una? 
 
𝑃(𝑋 ≤ 9, 𝑌 ≤ 9) = 𝑃(𝑋 = 7, 𝑌 = 7) + 𝑃(𝑋 = 7, 𝑌 = 9) + 𝑃(𝑋 = 9, 𝑌 = 7) + 𝑃(𝑋 = 9, 𝑌 = 9) 
𝑃(𝑋 ≤ 9, 𝑌 ≤ 9) = 0.05 + 0.05 + 0.05 + 0.10 
 
𝑃(𝑋 ≤ 9, 𝑌 ≤ 9) = 0.25 
 
 
c) ¿Son las variables aleatorias independientes? 
𝑓𝑋(𝑥)𝑓𝑌(𝑦) = 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) 
𝑓𝑋(7)𝑓𝑌(7) = 𝑓𝑋𝑌(7,7) 
(0.20)(0.10) = 0.05 
0.02 ≠ 0.05 ∴ 𝑁𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑣. 𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
 
d) ¿Cuál es el costo total esperado de la comida de las dos personas? 
𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌) = ∑ ∑(𝑥 + 𝑦) 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) 
20
𝑋=7
10
𝑋=7
 
𝐸(𝑋 + 𝑌) = (7 + 7)(0.05) + (7 + 9)(0.05) + (7 + 10)(0.10) + (9 + 7)(0.05) + (9 + 9)(0.10) 
+(9 + 10)(0.35) + (10 + 7)(0) + (10 + 9)(0.20) + (10 + 10)(0.10) 
𝐸(𝑋+ 𝑌) = 0.7 + 0.8 + 1.7 + 0.8 + 1.8 + 6.65 + 3.8 + 2 
𝐸(𝑋 + 𝑌) = 18.25 
 
e) Suponga que cuando una pareja abre galletas de la suerte al terminar de comer, encuentra el 
mensaje: "recibirás como devolución la diferencia entre el costo de la comida más cara y la menos 
cara que hayas escogido". ¿Cuánto espera devolver el restaurante? 
 
𝐸(𝐷𝑖𝑓(𝑋, 𝑌)) = (0)(0.05) + (2)(0.05) + (3)(0.1) + (2)(0.05) + (0)(0.10) + (1)(0.35) + 3(0) + (1)(0.2)
+ (0)(0.10) 
𝐸(𝐷𝑖𝑓(𝑋, 𝑌)) = 0 + 0.1 + 0.3 + 0.1 + 0 + 0.35 + 0 + 0.2 + 0 
𝐸(𝐷𝑖𝑓(𝑋, 𝑌)) = 1.05 
 
13. Para cada una de las siguientes distribuciones conjuntas, determinar si y son independientes. 
 
a) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦𝑒−(𝑥
2+𝑦2) ; 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 
 
𝑔(𝑥) = ∫ 4𝑥𝑦
∞
0
𝑒−(𝑥
2+𝑦2)𝑑𝑦 = −2𝑥𝑒−𝑥
2
 
𝑔(𝑦) = ∫ 4𝑥𝑦
∞
0
𝑒−(𝑥
2+𝑦2)𝑑𝑥 = −2𝑦𝑒−𝑦
2
 
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥)𝑔(𝑦) 
4𝑥𝑦𝑒−(𝑥
2+𝑦2) = (−2𝑥𝑒−𝑥
2
)(−2𝑦𝑒−𝑦
2
) 
4𝑥𝑦𝑒−(𝑥
2+𝑦2) = 4𝑥𝑦𝑒−(𝑥
2+𝑦2) ∴ 𝑆í 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒. 
 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2𝑦−3 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1 
𝑓(𝑥) = ∫ 3𝑥2𝑦−3𝑑𝑦
1
𝑥
=
−3𝑥2 + 3
2
 
𝑓(𝑦) = ∫ 3𝑥2𝑦−3𝑑𝑥
𝑦
0
= 1 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) 
3𝑥2𝑦−3 = (
−3𝑥2 + 3
2
) (1) 
3𝑥2𝑦−3 ≠
−3𝑥2 + 3
2
∴ 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒. 
 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 6(1 + 𝑥 + 𝑦)−4; 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 
𝑓(𝑥) = ∫ 6(1 + 𝑥 + 𝑦)−4𝑑𝑦
∞
0
=
2
(𝑥 + 1)3
 
𝑓(𝑦) = ∫ 6(1 + 𝑥 + 𝑦)−4𝑑𝑥
∞
0
=
2
(𝑦 + 1)3
 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) 
6(1 + 𝑥 + 𝑦)−4 = (
2
(𝑥 + 1)3
) (
2
(𝑦 + 1)3
) 
6
(1 + 𝑥 + 𝑦)−4
≠
4
(𝑥 + 1)3(𝑦 + 1)3
 ∴ 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒. 
 
 
 
14. Sea la función de densidad conjunta 
 
 
Calcular la covarianza de X y Y, y el coeficiente de correlación. 
 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌) 
 
𝑓𝑋(𝑥) = ∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 =
1
2
+ 𝑥
1
0
 
𝑓𝑋(𝑥) = {
 
1
2
+ 𝑥 ; 0 < 𝑥 < 1
0 ; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
 
𝑓𝑌(𝑦) = ∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 =
1
2
+ 𝑦
1
0
 
𝑓𝑌(𝑦) = {
 ; 0 < 𝑦 < 1
0 ; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
 
 
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 (
1
2
+ 𝑥)
1
0
𝑑𝑥 =
7
12
 
 
𝐸(𝑌) = ∫ 𝑦 (
1
2
+ 𝑦)
1
0
𝑑𝑦 =
7
12
 
 
𝐸(𝑋𝑌) = ∫ ∫ 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦
1
0
1
0
=
1
3
 
 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) =
1
3
− (
7
12
) (
7
12
 ) 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = −
1
144
 
 
𝜌 (𝑋, 𝑌) =
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝜎𝑋𝜎𝑌
=
𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌)
√𝑉𝑎𝑟(𝑋)√𝑉𝑎𝑟(𝑌)
 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = ∫ 𝑥2 (
1
2
+ 𝑥)
1
0
𝑑𝑥 − [∫ 𝑥 (
1
2
+ 𝑥)
1
0
𝑑𝑥]
2
 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
5
12
− (
7
12
)
2
 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
11
144
 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑌) = ∫ 𝑦2 (
1
2
+ 𝑦)
1
0
𝑑𝑦 − [∫ 𝑦 (
1
2
+ 𝑦)
1
0
𝑑𝑦]
2
 
𝑉𝑎𝑟(𝑌) =
5
12
− (
7
12
)
2
 
𝑉𝑎𝑟(𝑌) =
11
144
 
 
𝜌 (𝑋, 𝑌) =
−
1
144
√ 11
144
√ 11
144
 
𝜌 (𝑋, 𝑌) = −
1
11
 
 
 
 
 
 
 
15. Obtener la covariancia de las variables aleatorias X y Y, con función de probabilidad conjunta dada 
por: 
 
 
 
 
Obtenemos las marginales. 
y 1 2 3 
𝑓𝑌(𝑦) 1
4
 
14
45
 
79
180
 
 
 
x 1 2 3 
𝑓𝑋(𝑥) 1
3
 
19
36
 
5
36
 
 
 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌) 
 
𝐸(𝑋𝑌) = ∑ ∑ 𝑥𝑦 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)
3
𝑦=1
3
𝑥=1
 
𝐸(𝑋𝑌) = (1)(1)(0) + (1)(2) (
1
6
) + (1)(3) (
1
12
) + (2)(1) (
1
5
) + (2)(2) (
1
9
) + (2)(3)(0)
+ (3)(1) (
2
15
) + (3)(2) (
1
4
) + (3)(3) (
1
18
) 
𝐸(𝑋𝑌) = 0 +
1
3
+
1
4
+
2
5
+
4
9
+ 0 +
2
5
+
3
2
+
1
2
 
𝐸(𝑋𝑌) = 3.8277 
 
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 𝑓𝑋(𝑥)
3
𝑥=1
 
𝐸(𝑋) = (1) (
1
3
) + (2) (
19
36
) + 3 (
5
36
) 
𝐸(𝑋) =
1
3
+
19
18
+
5
12
 
𝐸(𝑋) = 1.8055 
 
𝐸(𝑌) = ∑ 𝑦 𝑓𝑌(𝑦)
3
𝑦=1
 
𝐸(𝑌) = (1) (
1
4
) + (2) (
14
45
) + (3) (
79
180
) 
𝐸(𝑌) =
1
4
+
28
45
+
79
60
 
𝐸(𝑌) = 2.1888 
 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 3.8277 − (1.8055)(2.1888) 
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = −0.1241