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Bibliografía-20190608
Materiales Generales
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Lección 7. Aplicaciones Lineales.pdf
Aplicaciones lineales
1 Definiciones, ejemplos y propiedades básicas.
Definición 1: Sean V yW dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K
(en general K = R o K = C). Una aplicación : V −→W se llama aplicación
lineal u homomorfismo (o simplemente morfismo) si
1) (u+ v) = (u) + (v) para todo u, v ∈ V
2) (u) = (u) para todo u ∈ V y para todo ∈ K
Las dos condiciones anteriores son equivalentes a la única condición:
(u+v) = (u) + (v) para todo uv ∈ V y para todo ∈ K
Ejemplos 1:
1. La aplicación : R2 −→ R2 definida por ( ) = (−) es lineal
2. SeanV yW dos K-espacios vectoriales. Entonces, 0 : V −→W, definida
por 0(v) = 0W para todo v ∈ V, es una aplicación lineal.
3. Si V es un K-espacio vectorial, la aplicación : V −→ V definida por
(v) = v para todo v ∈ V, es una aplicación lineal.
4. Sea ∈ ×(K) una matriz de orden × con coeficientes en K
Entonces : K−→ K definida por (x) = x es una aplicación
lineal (asociada a la matriz ). Obviamente, para que tenga sentido el
producto x se entiende que el vector x ∈K se escribe en columna, como
se hará siempre que este implicado en operaciones matriciales. Esto nos
permite pensar toda matriz de orden × como una aplicación lineal
de K a K. Más adelante veremos que esto es cierto para todas las
aplicaciones lineales de K a K.
Definición 2: Si : V −→W es una aplicación lineal (u homomorfismo),
entonces
1. se llama monomorfismo si es inyectiva.
2. se llama epimorfismo si es epiyectiva.
1
Aplicaciones lineales de acuerdo con César Rodríguez
3. se llama isomorfismo si es biyectiva. En este caso, se dice que V es
isomorfo aW y se escribirá V ∼=W.
4. si V =W : V −→ V se llama un endomorfismo (o un operador lineal)
5. si : V −→ V es un endomorfismo biyectivo se llama automorfismo.
La siguiente proposición nos proporciona algunas propiedades de las aplica-
ciones lineales.
Proposición 1: Si : V −→W es una aplicación lineal, se verifica:
1. (0V) = 0W
2. (−v) = − (v)
3. (1v1 + 2v2 + + v) = 1 (v1) + 2 (v2) + + (v)
4. Si S es un subespacio vectorial de V, entonces (S) es un subespacio
vectorial deW
5. Si H es un subespacio vectorial deW, entonces −1(H) es un subespacio
vectorial de V
Núcleo e Imagen de una aplicación lineal
Definición 3: Sean V yW dos K-espacios vectoriales y sea : V −→W
una aplicación lineal.
1. Se llama Núcleo de y se denotará por ker( ) al conjunto
ker( ) = {v ∈ V (v) = 0W} = −1(0W)
2. Se llama Imagen de , y se denotará por Im( ) al conjunto
Im( ) = {w ∈W w = (v) para algún v ∈ V } = (V) =
= { (v) : v ∈ V}
Proposición 2: ker( ) es un subespacio vectorial de V e Im( ) es un
subespacio vectorial deW
Departamento de Matemáticas,
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
2
Aplicaciones lineales de acuerdo con César Rodríguez
Determinación de una aplicación lineal
Observación: Una aplicación lineal : V −→ W queda completamente
determinada si conocemos las imágenes de los vectores de una base cualquiera
de V En efecto, si = {v1v2 v} es una base de V y conocemos (v)
para 1 ≤ ≤ se puede hallar la imagen de cualquier vector v ∈ V. Puesto
que es base de V, se sigue que v = 1v1+2v2+ +v, donde los son
escalares únicos. Entonces,
(v) = (1v1 + 2v2 + + v) = 1 (v1) + 2 (v2) + + (v)
Condición necesaria y suficiente de monomorfismo
Recordemos que una aplicación lineal es inyectiva si (v) = (u) implica
que v = u
Proposición 4: Una aplicación lineal : V −→W es inyectiva si, y sólo
si, ker( ) = {0V}
Proposición 5: Sea : V −→ W una aplicación lineal entre espacios
vectoriales. Si = {v1v2 v} es una base de V entonces
Im( ) = h (v1) (v2) (v)i
El siguiente teorema demuestra que las dimensiones del Núcleo y de la Im-
agen de una aplicación lineal están relacionadas.
Teorema 1: (Fórmula de las dimensiones para aplicaciones lineales)
Sea : V −→W una aplicación lineal entre espacios vectoriales siendo dimV =
Entonces
dimker( ) + dim Im( ) = = dimV
Definición 4: Sea : V −→W una aplicación lineal. Entonces, se llama
rango de y se denota por ( ), a
( ) = dim Im( )
Proposición 6: Sea : V −→ W una aplicación lineal entre espacios
vectoriales con dim = y dim = Las siguientes condiciones son equiv-
alentes:
1. es inyectiva.
2. ker( ) = {0V}
3. Si es un sistema de vectores linealmente independientes de V, entonces
() es un sistema de vectores linealmente independientes deW
4. dimV = ( ) = dim Im( ) =
5. Si = {v1v2 v} es una base deV entonces () = { (v1) (v2) (v)}
es una base de Im( )
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3
Aplicaciones lineales de acuerdo con César Rodríguez
Proposición 7: Sea : V −→ W una aplicación lineal entre espacios
vectoriales con dim = y dim = Las siguientes condiciones son equiv-
alentes:
1. es epiyectiva.
2. Si es un sistema de generadores de V, entonces () es un sistema de
generadores deW
3. dimW = ( ) = dim Im( ) =
Proposición 8: Sean V yW espacios vectoriales de igual dimensión finita,
esto es, dimV =dimW = y sea : V −→W una aplicación lineal. Entonces,
es isomorfismo ⇐⇒ es inyectiva ⇐⇒ es epiyectiva
2 Matriz asociada a una aplicación lineal respecto
de una pareja de bases.
Hasta aquí hemos estudiado aplicaciones lineales examinando su Núcleo y su
Imagen. A continuación, vamos a representar las aplicaciones lineales mediante
matrices hasta el punto de establecer una correspondencia biyectiva entre apli-
caciones lineales y matrices. Esto nos permitirá utilizar las propiedades de las
matrices para estudiar propiedades de las aplicaciones lineales.
A lo largo de esta sección, V y W son K-espacios vectoriales de dimen-
siones finitas y respectivamente y : V −→W es una aplicación lineal.
Sean ahora = {v1v2 v} y = {w1w2 w} bases (ordenadas) de
V y W respectivamente. Entonces, la matriz asociada a respecto de las
bases y , denotada por [ ]
, es la matriz cuyas columnas están formadas
por las coordenadas, respecto de la base de las imágenes de los vectores de
la base , esto es,
= [ ]
=
³
[ (v1)] [ (v2)] [ (v)]
´
Proposición 10: SeanV yW espacios vectoriales con bases (ordenadas)
y . Sea : V −→W una aplicación lineal. Entonces, para cada vector
v ∈ V se verifica que
[ (v)] = [ ]
[v]
Cualquier matriz representa una aplicación lineal
Teorema 2: Cualquier matriz representa una aplicación lineal entre espacios
vectoriales de adecuadas dimensiones con respecto a cualquier pareja de bases.
Observación 3: Por consiguiente, no sólo cualquier aplicación lineal viene
descrita por una matriz sino que cualquier matriz representa una aplicación
lineal. Si denotamos por (V ,W) el conjunto de las aplicaciones lineales
Departamento de Matemáticas,
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
4
Aplicaciones lineales de acuerdo con César Rodríguez
de V en W se sigue que la aplicación (V ,W) −→ × (R) que
a cada aplicación lineal le hace corresponder su matriz asociada respecto de
bases elegidas, es una biyección. Esto nos permitirá usar las matrices para
obtener resultados acerca de las aplicaciones lineales y, en ocasiones, abusando
del lenguaje, se confunde una aplicación lineal con su matriz asociada.
Rango de una aplicación lineal
Proposición 8: Sea : V −→W una aplicación lineal y sea la matriz
asociada a respecto de cualesquiera bases de V yW Entonces
1. El rango de la aplicación lineal es igual al rango de su matriz asociada
.
2. es un isomorfismo si, y sólo si, su matriz asociada es regular.
Corolario 1: Sea
: V −→W una aplicación lineal y sea cualquier
matriz asociada a Entonces,
1. es epiyectiva si, y sólo si, () = = número de filas de
2. es inyectiva si, y sólo si, () = = número de columnas de
Invertibilidad e isomorfismos
Definición: Una aplicación lineal : V −→W tiene o admite aplicación
inversa : W −→ V si ◦ = W y ◦ = V. Como es bien sabido
de teoría de funciones, la aplicación inversa, si existe, es única y se denota por
= −1. Si tiene inversa diremos que es invertible.
Al igual que en el caso de funciones, una aplicación lineal : V −→W tiene
inversa si, y sólo si, es isomorfismo, esto es, si es inyectiva y epiyectiva.
Proposición 11: Sea : V −→ W una aplicación lineal entre espacios
vectoriales de dimensión finita con bases y respectivamente. Entonces es
invertible si, y sólo si, [ ]
lo es. Además,£
−1
¤
=
³
[ ]
´−1
Teorema 3 : SeanV yW espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces
V es isomorfo aW si, y sólo si, dimV = dimW
Teorema 4: Sea una base de un K-espacio vectorial V de dimensión .
Entonces la función : V −→K definida por (x) = [x] es un isomorfismo.
Corolario 1: Si V es un K-espacio vectorial de dimensión , entonces V
es isomorfo a K
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5
Tema 2.2. Aplicaciones Lineales.pdf
E.I.I.C. - Álgebra Tema 2: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
TEMA 2: ESPACIOS VECTORIALES Y
APLICACIONES LINEALES
PARTE 2
2.5.- APLICACIÓN LINEAL
Una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios
vectoriales. Es decir:
( ) ( )
: ( ) ( ) / , , , ,
( ) ( )
f f f
f
f f
x y x y
E Ε x y Ε
x x
Condiciones que podemos resumir en:
: ( ) ( ) / , , , , ( ) ( )f fE Ε x f fy Ε x y x y
NÚCLEO E IMAGEN DE LA APLICACIÓN LINEAL:
SUBESPACIO NÚCLEO: / ( )f fN x Ε x 0
f
N
f
0
E 0
E´
E
E´
fN es un conjunto no vacío, ya que:
, / 0 ; ( ) (0 ) 0 ( )y f f fx Ε 0 Ε 0 x 0 x x 0 Ε
Condición de subespacio:
, , , , ( ) ( )f f f fx y N x y x y 0 0 0 Ε
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E.I.I.C. - Álgebra Tema 2: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
SUBESPACIO IMAGEN: / ( ),f fIm x Ε x x x Ε
f
E
E´
Imf
Condición de subespacio:
( ), ( ) , , /
( ) ( )
f f f
f f f f
x y Im x y Ε
x y Im x y Im
f
Propiedades:
Si f fN 0 es inyectiva.
Si f y }es un sistema libre de vectores de
Ε , entonces { }f v es un sistema libre de
vectores de
N 0 { 1 2, , , pv v v
1 2( ), ( )f fv v , , ( )p
Ε
dim dim dimf f Ε N Im
Si dim dimf fN 0 Ε Im
Si dim dimf yN 0 Ε Ε f es ISOMORFISMO.
Si } es base de Ε , entonces { }
es un sistema generador de
{ 1 2, , , ne e e 1 2( ), ( ), , ( )nf f fe e e
fIm .
TEOREMA DE ISOMORFÍA:
Todo espacio vectorial de dimensión n, definido sobre un cuerpo Ε
conmutativo , es ISOMORFO al espacio vectorial n .
Nota: Es particularmente importante el isomorfismo entre cualquier
espacio vectorial definido sobre el cuerpo de los números reales y el
espacio vectorial . ( )n
- 52 -
E.I.I.C. - Álgebra Tema 2: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
2.6.- MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL
Sea la aplicación lineal : y sean : ( ) ( )f Ε Ε 1 2, , , nBΕ e e e y
1 2, , , mBΕ u u u bases de y de Ε Ε respectivamente. Entonces:
1 1 2 2 1 1 2 2, ( ) /n n m mx x x f y y yx Ε x e e e y x Ε y u u u
)
ö
ø
Como:
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
n n m m
n n m m
f f x x x y y y
x f x f x f y y y
= = ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅
⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅
y x e e e u u u
e e e u u u
( ) (
1 1
2 2
1 2 1 2
( )
( )
( )
n m
n m
f
f
x x x y y y
f
æ ö æ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷=ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è
e u
e u
e u
(I)
Pero:
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
( )
( )
( )
( )
m m
m m
i
n n n nm m
f
f
f
f
e u u u
e u u u
e Ε
e u u u
1 11 12 1
2 21 22 2
1 2
( )
( )
( )
m
m
n n n nm
f
f
f
w w w
w w w
w w w
æ ö æ öæ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷=ç ç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç çè ø è øè
e u
e u
e u
1
2
m
ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ø
æ öçççççççççççè ø
t
Sustituyendo en (I):
( ) ( )
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2 1 2
1 2
m
m
n m
n n nm m m
x x x y y y
w w w
w w w
w w w
æ öæ ö÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷= ç ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷ç çè øè ø
u u
u u
u u
( )t t t t tn m j j n m n m m n x u y u y x y x x
Expresión, que permite obtener las coordenadas de los vectores
imagen, en función de las coordenadas de los vectores origen.
- 53 -
E.I.I.C. - Álgebra Tema 2: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
A la matriz se denomina “matriz de la aplicación
lineal” en las bases
t
m n m n A
BΕ y B Ε respectivamente.
Obsérvese que las columnas de la matriz m nA son las coordenadas de
los vectores referidos a la base ( )if e B Ε de Ε . Como estas coordenadas
son únicas, entonces la matriz asociada a una aplicación lineal respecto de
las bases dadas y de , también es única. Ε Ε
Recíprocamente, toda matriz definida sobre un cuerpo conmutativo
, caracteriza a una única aplicación lineal.
RANGO DE LA APLICACIÓN LINEAL:
Es por definición la dimensión del subespacio Imagen:
dim dim dim frangf f Im Ε N
Pero dim fIm coincide con en m nrang A . En efecto:
Sea 1 2, , , nBΕ e e e base de , entonces
es un sistema generador de
Ε { }1 2( ), ( ), , ( )nS f f f= e e e
fIm . Si dim f rIm implica que podemos
encontrar una base de fIm , formada por r vectores libres de S . Como las
columnas de m nA son las coordenadas de los vectores de S , y el rango de
es precisamente el número de columnas (o filas) linealmente
independientes, podemos concluir que:
m nA
dim m nrangf f rang Im A
Otras conclusiones a las que podemos llegar son:
1. La aplicación es sobreyectiva, si y sólo si,
número de filas de A . m nrang m A
2. La aplicación es inyectiva, si y sólo si, m n número
de columnas de A .
rang n A
3. La aplicación es un isomorfismo si y sólo si, A es regular.
CAMBIOS DE BASE EN UNA APLICACIÓN LINEAL:
Sea la aplicación lineal : y sean : ( ) ( )f Ε Ε 1 1 2, , , nB e e e y
1 1 2' , , , mB u u u bases de y de Ε Ε respectivamente. Entonces:
- 54 -
E.I.I.C. - Álgebra Tema 2: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
- 55 -
u1 1 2 2 1 1 2 2
1, ( ) /n n m mx x x f y y y
A
x Ε x e e e y x Ε y u u
Si cambiamos las bases de los espacios vectoriales y de Ε Ε
y { }2 1 2' , ' ,
, 'nB = e e e 2 1 2' ' , ' , , 'mB u u u respectivamente. Entonces:
1 1 2 2 1 1 2 2
2, ' ' ' ' ' ' ( ) / ' ' ' ' 'n n m mx x x f y y y
A
x Ε x e e e y x Ε y u u u '
Siendo la matriz de paso (o de cambio de base) de la base ΕP 1B a la
base 2B del espacio vectorial Ε y ΕP la matriz de paso (o de cambio de
base) de la base 1'B a la base 2'B del espacio vectorial Ε tal que:
1 2
1 2' '
B B
B B
Ε
Ε
x P x
'y P y
Y teniendo en cuenta que:
1 1
2 2
' 1
' 2
B B
B B
y A x
y A x
Entonces:
1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1
' ' ' ' ' ' ' 1 ' 1 2 ' 1B B B B B B BΕ Ε Ε Ε Ε Ε 2BΕ
y P y y P y P A x P A P x A x P A P x
Por tanto,
1
2 ' 1Ε ΕA P A P
Es decir que las matrices de una aplicación lineal cuando se cambian
las bases son matrices equivalentes, relacionadas por las matrices de paso
(o de cambio de base) de Ε y de . 'Ε
Si ocurre que Ε y son el mismo espacio vectorial
(endomorfismo), entonces
'Ε
Ε ΕP P P y la relación entre las matrices
quedaría:
1
2 1A P A P
En este caso, las matrices y son semejantes. 1A 2A
E.I.I.C. - Álgebra Tema 2: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
2.7.- OPERACIONES CON APLICACIONES LINEALES
SUMA DE APLICACIONES LINEALES:
Sean : n mf Ε Ε y : n mg Ε Ε dos aplicaciones
lineales, entonces, se define la aplicación suma como:
: / ,n m nf g f g f g Ε Ε x x x x Ε
Propiedad: Sean m nA y m nB las matrices asociadas a las
aplicaciones f y respectivamente, entonces: g
m n m n m nf g M A B
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA APLICACIÓN LINEAL:
Sea : n mf Ε Ε una aplicación lineal y sea , entonces,
se define la aplicación producto por un escalar, como:
: / ,n m nf f f Ε Ε x x x Ε
Propiedad: Sea la matriz asociada a la aplicación m nA f , entonces:
m n m nf M A
COMPOSICIÓN DE APLICACIONES LINEALES:
Dadas las aplicaciones lineales, : n pf Ε Ε ' y
: ' ''p mg Ε Ε , tal que se verifica que Im , se puede
definir la aplicación compuesta o producto de aplicaciones , de la
forma:
f Domg
h g f
: '' / ( ) ( ) ( ) ,n m nh h g f g f Ε Ε x x x x Ε
Propiedad: Sean p nA y m pB las matrices asociadas a las
aplicaciones f y respectivamente, entonces: g
m n m p p ng f M B A
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E.I.I.C. - Álgebra Tema 2: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
APLICACIÓN INVERSA:
Dada una aplicación lineal , : 'n mf Ε Ε , si es posible
definir otra aplicación 1f : 'm nΕ Ε tal que si
1( ) ( )f f y x x y , entonces a se llama aplicación inversa o
recíproca de y se verifica:
f 1
f
1
n
f f I Εx x es la aplicación identidad en nΕ .
1 'mf f I
Εx x es la aplicación identidad en 'mΕ .
La condición necesaria y suficiente para que una aplicación lineal
tenga inversa es que sea isomorfismo, es decir que es inyectiva y
sobreyectiva y por tanto . m n
Propiedades:
1. 11f f
2. 1 1 1g f f g
3. 1f es lineal.
4. Si nA es la matriz asociada a f , entonces,
1
n
A es la matriz
asociada a 1f .
2.8.- TEOREMA DE ROUCHE-FRÖBENIUS
Sea el sistema Ax b . La matriz representa una aplicación lineal: A
: ( ) ( ) / ( )n m
m nf fAΕ Ε x A x
f
E
E´
Imf
x
f(x)
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E.I.I.C. - Álgebra Tema 2: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
Pero, ( )fAx b x b
Pueden suceder dos casos:
a) fb Im , el sistema tienen solución y es por tanto
COMPATIBLE. Como fdim dim dimfn Ε N Im y como
dim f rangIm A , entonces:
dim fn rang N A
Si f es inyectiva A el sistema tiene
solución única y es por tanto compatible determinado.
dim 0f rang n N
Si f es no inyectiva A el sistema
tiene más de una solución y es por tanto compatible
indeterminado.
dim 0f rang n N
b) fb Im , el sistema no tienen solución y es por tanto
INCOMPATIBLE .
CONCLUSIÓN:
Sea . Como el rango de la matriz es igual a la dimensión del
espacio columna de la matriz entonces:
Ax b A
A
A) Si rang rangA A b es porque el vector b se puede expresar
como una combinación lineal de las columnas de la matriz A ;
por tanto el sistema tendrá solución y será COMPATIBLE:
Si rang rang nA A b DETERMINADO
Si rang rang nA A b INDETERMINADO
B) Si rang rangA A b es porque el vector es linealmente
independiente, es decir que no pertenece al espacio columna de la
matriz ; por tanto el sistema no tendrá solución y será
INCOMPATIBLE.
b
A
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E.I.I.C. - Álgebra Tema 2: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
CUESTIONES TEÓRICO-PRÁCTICAS:
Seleccione la respuesta correcta:
1.- Sea el espacio vectorial de las matrices simétricas de orden y
considérese una aplicación lineal,
2S 2
3 2:f S . Entonces:
a) La aplicación será sobreyectiva si f fN 0 .
b) La aplicación será inyectiva si f fN 0 .
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.
SOLUCIÓN:
La opción correcta es la c. Demostración:
a) . Por tanto, 2 2 / , , dim 3
x y
x y z
y z
S M S
2
f sobreyectiva 2dim dimfIm S y como
3 2dim dim dim 3 0 dim dim 3 dimf f f fN Im Im Im S
b) inyectiva y como f f fx y x y fN 0
ff f fx y x y 0 x y N x y 0 x y
)
2.- Sea una aplicación lineal. Entonces : : ( ) ' (n mf E E
a) es un isomorfismo si dif m dim 'E E .
b) es un isomorfismo si f dim dimf fN Im .
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.
SOLUCIÓN:
La opción correcta es la d. Demostración:
f es un isomorfismo si sobreyectiva y inyectiva f f dim dim 'fIm E y
que no se verifica en ninguna de las dos opciones. dim 0f N
3.- Sea una aplicación lineal entre dos espacios
vectoriales. Entonces:
: ( ) ' (n mf E E )
a) es biyectiva si f dim dimf fN Im .
b) es biyectiva si f dim dim dimf f E N Im .
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.
SOLUCIÓN:
La opción correcta es la d. Demostración:
f es biyectiva si sobreyectiva y inyectiva f f dim dim 'fIm E y
que no se verifica en ninguna de las dos opciones. dim 0f N
- 59 -
E.I.I.C. - Álgebra Tema 2: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
4.- Sea la aplicación lineal de matriz asociada , y
considerese el sistema de ecuaciones lineales
: ( ) ' (n mf E E ) A
/ fAx b b Im . Entonces:
a) Si es inyectiva el sistema es compatible determinado. f
b) Si es no inyectiva el sistema es compatible indeterminado. f
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.
SOLUCIÓN:
La opción correcta es la d. Demostración:
Como fb Im el sistema es incompatible.
5.- Sea la aplicación lineal de matriz asociada
, y considerese el sistema de ecuaciones lineales .
Entonces:
: ( ) ' (n mf E
E )
/ rang rA A Ax b
a) Si rang rangA A b b pertenece al espacio columna de . A
b) Si rang rangA A b b pertenece al espacio columna de . A
c) Las dos anteriores son ciertas.
d) Ninguna de las anteriores es cierta.
SOLUCIÓN:
La opción correcta es la b. Demostración:
Si el vector b pertenece al espacio columna de , es porque pertenece al
subespacio generado por los vectores columna de la matriz , entonces es
combinación lineal de las columnas de la matriz y por tanto
A
A
A
rang rangA A b .
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E.I.I.C. - Álgebra Tema 2: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
PROBLEMAS RESUELTOS:
1.- Determinar cuales de las siguientes aplicaciones son lineales y en su
caso hallar la matriz asociada en las respectivas bases canónicas:
a) 3 2: / , , ,f f x y z x y y z .
b) 3 2: / , , ,f f x y z xy yz .
SOLUCIÓN:
a)
, , ', ', ' ', ', '
' ', ' '
, ' ', ' ' , , ', ', '
f x y z x y z f x x y y z z
x x y y y y z z
x y y z x y y z f x y z f x y z
Por tanto es aplicación lineal.
b)
, , ', ', ' ', ', '
' ' , ' '
, , ', ', ' , ' ', ' ' ' ', ' '
f x y z x y z f x x y y z z
x x y y y y z z
f x y z f x y z xy yz x y y z xy x y yz y z
.
Por tanto no es aplicación lineal.
2.- Dada la aplicación lineal 3 2: / , , 3 2 4 , 5 3f f x y z x y z x y z ,
hallar:
a) Matriz asociada a f en las bases canónicas respectivas.
b) Matriz asociada f en las bases 3 1,1,1 , 1,1,0 , 1,0,0B y
2 1,3 , 2,5B .
c) Hallar una base y la dimensión de fN e fIm .
SOLUCIÓN:
a)
1,0,0 3,1
3 2 4
0,1,0 2, 5
1 5 3
0,0,1 4,3
f
f
f
A
b)
1
2 1
1 1 1
5 2 3 2 4 7 33 13
' 1 1 0
3 1 1 5 3 4 19 8
1 0 0
A P AP
- 61 -
E.I.I.C. - Álgebra Tema 2: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
c)
3
3
3 2
, , / , , 0,0
14
3 2 4 0 3 2 4 0 14 1317 , , /
1 5 3 0 5 3 0 13 17 17
17
14,13,17 ;dim 1;dim dim dim 3 1 2
f
f
f f f
x y z f x y z
x x z
x y z
y z
x y z
y zz
f
N Ax 0
N
N N Im N
z z z
3.- Dadas las aplicaciones lineales 3 2: / , , ,f f x y z x y y z
,y y
y
, 2 3: / , ,g f x y x y x
a) Hallar . g f
b) Comprobar que g f g fM M M , siendo fM , gM y g fM las
matrices asociadas a las aplicaciones f , g y
respectivamente.
g f
SOLUCIÓN:
a)
, , , , , , ,
2 , ,
g f x y z g f x y z g x y y z x y y z x y y z y z
x y z x z y z
b)
1,0,0 1,1,0 1 2 1 1 1
1 1 0
0,1,0 2,0,1 1 0 1 1 1
0 1 1
0 1 1 0 10,0,1 1,1,1
g f g f
f
f
f
M M M
4.- Dada la aplicación lineal,
3 3: / , , , 4 , ,f f x y z x z y z x y
a) Hallar la matriz asociada a f en la base canónica de 3 .
b) Dar los valores de para los que f es inyectiva.
c) Para los valores de en los que f no es inyectiva, hallar las
ecuaciones paramétricas del núcleo y su dimensión.
SOLUCIÓN:
a)
1,0,0 1,0, 1 1 0 1
0,1,0 0, 4, 0 4
1 00,0,1 1, ,0
f
f
f
A
f inyectiva 2
1 0 1
0 4 3 4 0
1 0
f rang
N 0b) 2
- 62 -
E.I.I.C. - Álgebra Tema 2: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
c)
1 0 1 0 0 2
2 0 4 2 0 4 2 0 ;dim 1
1 2 0 0 2 0 2
1 0 1 0 0
2 0 4 2 0 4 2 0
1 2 0 0 2 0
f f
f
x x z x
y y z y
z x y z
x x z
y y z
z x y
N Ax 0 N
N Ax 0
2
;dim 1
2
f f
x
y
z
N N
5.- Sea la aplicación lineal, 22: ( ) ( )) / ( ,
x y
)f f x z
z t
M y t .
a) Hallar la matriz asociada a f en las bases:
00
01
,
00
11
,
01
11
,
11
11
B de y 2 ( )M 2,1,1,1'B de
. 2 ( )
b) Hallar el núcleo de f y una base del mismo. ¿Es f un
isomorfismo.?
SOLUCIÓN:
Aplicamos el Teorema de Isomorfia:
4 2: ( ) ( )) / , , , ( , )f f x y z t x z y t
Y hallamos la matriz asociada a f en las respectivas bases canónicas:
1 0 1 0
0 1 0 1
A
a) 4 2
1
1 1 1 1
2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 2
'
1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1
1 0 0 0
A P AP
b)
4
4
, , , / , , , 0,0
1 0 1 0 0 0
, , , , ,
0 1 0 1 0 0
1,0,1,0 , 0,1,0,1 ;dim 2
f
f
f
f
x y z t f x y z t
x
y x z
x y x y x y
z y t
t
B
N
N Ax 0
N
N
o tambien, 4
1 0 0 1
/ , ; , ;dim 2
1 0 0 1ff f
x y
x y B
x y N
N N
No puede ser un isormorfismo porque los espacios vectoriales tienen distinta
dimensión.
- 63 -
E.I.I.C. - Álgebra Tema 2: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
6.- Sean y dos espacios vectoriales reales y sean V W 1 2 3 4, , ,e e e e y
{ }1 2 3, ,u u u
f
bases de y respectivamente. Considérese la aplicación
lineal definida por:
V
( )W
W
: ( )V
3u
1 1 2 3
2 1 2
3 1 2
4 1 3
( ) 4
( ) 2 2
( ) 3
( ) 2
f
f
f
f
ì = + -ïïïï = + -ïïíï = +ïïï = +ïïî
e u u u
e u u
e u u
e u u
a) Hallar la matriz asociada a la aplicación en las bases dadas.
b) Hallar las ecuaciones, una base y dimensión de fN e fIm .
SOLUCIÓN:
a) 1 2 3 4
1 2 3 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0
4 2 0 2
f f f f
A e e e e
b)
( ) / ( )
1 2 3 1 0 2 3 0
1 1 1 0 0 0
4 2 0 3 0 4 2 3 0
, , , 2 ( ) / ,
1,0, 1, 2 , 0,1, 1,1 ;dim 2;
dim dim ( ) dim 2
f
f
f f
f
f
x
x y z t
y
x y z
z
x y t
t
x y x y x y x y
f
N x V x 0 W Ax 0
N V
N N
Im V N
7.- Sea el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual
que dos con coeficientes reales y considérese la aplicación lineal:
V
3 2: / 2 , 2 , 2 3f f ax bx c a b c a b c a b c V
Hallar para que valor/es de , es un isomorfismo. f
SOLUCIÓN:
Aplicamos
el Teorema de Isomorfia:
3 3: / , , 2 , 2 , 2 3f f a b c a b c a b c a b c
Hallamos la matriz asociada a f en la base canónica de 3
1 1 2
2 1 1
2 3
A
isomorfismo
1 1 2
3 2 1 1 3
2 3
rang rang
Af 9
- 64 -
E.I.I.C. - Álgebra Tema 2: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
- 65 -
8.- Sea el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales
de grado menor o igual que dos y sea el espacio vectorial de las
matrices simétricas . Se considera la aplicación lineal:
V
2 ( )S
2 2
22
2
: ( ) /
a c a b c
f f ax bx c
a b c a
V S
a) Hallar la matriz asociada a en las respectivas bases canónicas. f
b) Hallar el núcleo de y una base del mismo y su dimensión. f
SOLUCIÓN:
Aplicamos el Teorema de Isomorfia:
3 3: / , , 2 , ,f f a b c a c a b c a
a)
1,0,0 2,1,1 2 0 1
0,1,0 0,1,0 1 1 1
1 0 00,0,1 1,1,0
f
f
f
A
b)
2 0 1 0 2 0
1 1 1 0 0 ;dim 0
1 0 0 0 0
f f f
x x z
y x y z
z x
N Ax 0 N 0 N
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