CTA-VA5_EO_SpaceMissionAnalisys_v1

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Geometría de misiones EO
marzo de 2014Ana Laverón Simavilla
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Índice
 Introducción
 Geometría en la esfera celeste
 Iluminación
 Trazas
 Cobertura
 Visibilidad desde una estación de tierra
 Bibliografía
marzo de 2014Ana Laverón Simavilla
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INTRODUCCIÓN
marzo de 2014Ana Laverón Simavilla
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GEOMETRÍA EN LA ESFERA 
CELESTE
24-mar.-14Ana Laverón Simavilla
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Sistemas de referencia
 En casi todas las misiones es necesario conocer la 
posición y movimiento de los objetos (planetas, Sol, 
Tierra…) en relación con el satélite
 La elección de un sistema de referencia adecuado 
facilita la resolución de los problemas
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Sistemas de referencia
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Nombre Ligado a Centro Eje z Eje x Aplicación
Heliocéntrico Espacio 
inercial
Sol Polo eclíptica  Órbitas planetarias, 
efemérides
Geocéntrico 
inercial
Espacio 
inercial
Tierra Polo celeste  Calculo orbital
Fijo a Tierra Tierra Tierra Polo celeste Meridiano 
Greenwich
Movimiento relativo 
del SC, cobertura, 
visibilidad
Celeste 
inercial
Espacio 
inercial
SC Polo celeste  Observación 
astronómica
LVLH Órbita SC Nadir Contenido en el 
plano orbital
Observación de la 
Tierra, maniobras de 
actitud
Fijo al SC SC SC Dirección del 
SC apuntando a 
nadir
Dirección del SC 
en la dirección de 
la velocidad
Apuntamiento de 
instrumentos
La esfera celeste
 Una vez seleccionado el sistema de referencia, para 
identificar una dirección en él es muy útil emplear la 
esfera celeste: esfera imaginaria centrada en el origen 
del sistema de referencia y de radio unidad
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Ref. SMAD
La esfera celeste
 Un punto en la esfera celeste 
representa una dirección (S: del 
Sol)
 La dirección opuesta se 
denomina antípoda, o antipunto
y se denota con un superíndice 
“-1” (S-1: opuesta al Sol)
 Nadir: dirección al centro de la 
Tierra
 Zénit: dirección opuesta a nadir
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Ref. SMAD
La esfera celeste
 β, η, ψ: longitud de arco en 
una circunferencia máxima → 
lados del triángulo esférico
 Φ, Σ, Λ: ángulos dihédricos o 
de rotación → ángulos del 
triángulo esférico
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Ref. SMAD
ILUMINACIÓN
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Análisis de eclipses para LEO
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Ref. SMAD
 𝐻𝐻 = 1000 𝑘𝑘𝑘𝑘 (circular)
 𝑖𝑖 = 32°
Análisis de eclipses para LEO
 Disco terrestre
– 𝑖𝑖 = 32°
– Desde esta órbita la Tierra se ve 
como un disco de cubre un 
semiángulo de 
 El plano de la eclíptica forma 
un ángulo de ~23,5° con el 
ecuador
 El ángulo entre la eclíptica y el 
plano orbital de la tierra 
depende de Ω → la duración 
del eclipse depende de Ω
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𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 =
𝑅𝑅𝐸𝐸
𝑅𝑅𝐸𝐸 + 𝐻𝐻
→ 𝑠𝑠 = 59,8°~60°
Ref. SMAD
Análisis de eclipses para LEO
 En el caso en que la órbita terrestre formara el 
máximo ángulo con la eclíptica (Ω = 180°) → no 
hay órbitas sin eclipse
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Polo celeste
Ecuador
32,0°
Órbita terrestre
23,5º
Eclíptica
60º
60º
32,0°
Polo de la 
órbita
Ref. SMAD
Análisis de eclipses para LEO
 Este sistema de 
referencia no permite 
calcular la duración 
del eclipse, para ello 
es más conveniente 
un sistema de 
referencia ligado a la 
órbita
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Ref. SMAD
𝛽𝛽𝑆𝑆 = 32° ± 23,5° → 𝛽𝛽𝑆𝑆,max = 55,5°
→ 𝛽𝛽´𝑆𝑆,min = 34,5°
Análisis de eclipses para LEO
 Cálculo de la duración 
del eclipse en función 
del ángulo del Sol con 
el plano orbital, 𝛽𝛽𝑆𝑆, y 
del periodo orbital, P
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Ref. SMAD
cos𝑠𝑠 = cos𝛽𝛽𝑆𝑆 cos
Φ
2
+ sin𝛽𝛽𝑆𝑆 sin
Φ
2
cos90°
Φ
2
Análisis de eclipses para LEO
 ¿Cómo será la figura que delimita la zona de eclipse 
para una órbita elíptica? 
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Ref. SMAD
Aproximación sombra elíptica (órb. circul)
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 De la figura anterior se 
calcula e
– El ángulo que forma el Sol 
con una cara del SC cuya 
normal es N, a lo largo de 
una órbita
– Los valores máximo y 
mínimo de ese ángulo
– Las condiciones de inicio y 
fin de eclipse en función del 
azimut de nadir respecto a 
N, 𝐴𝐴𝐴𝐴0
Geometría del ángulo solar respecto a una cara 
del SC
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Ref. Wertz
TRAZAS
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Definiciones
 Traza: línea que dibuja sobre la superficie terrestre el 
punto subsatélite
 Punto subsatélite: intersección de la línea centro de la 
Tierra – SC con la superficie terrestre
 La traza sería la circunferencia intersección del plano 
orbital y la esfera terrestre si no fuera por el giro de la 
Tierra, éste hace que la traza sea una espiral
 En una proyección plana
– La traza sería una sinusoide cerrada con amplitud igual a la 
inclinación de la órbita para órbitas directas, 𝜋𝜋 − 𝑖𝑖 para 
retrógradas
– El giro de la Tierra modifica la forma de la sinusoide pero no su 
amplitud
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Desfase de nodos ascendentes consecutivos
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𝑇𝑇𝐴𝐴 = 2.67 h
𝑇𝑇𝐴𝐴 = 8 h
𝑇𝑇𝐴𝐴 = 18 h
𝑇𝑇𝐴𝐴 = 24 h
𝑇𝑇𝐴𝐴 = 24 h
Subsíncronas
Síncronas
Desfase de nodos ascendentes consecutivos
 Despreciando los efectos perturbadores, el desfase en 
longitud entre dos nodos ascendentes consecutivos es
n: movimiento medio
𝜆𝜆: en grados
𝑎𝑎: en km
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∆𝜆𝜆 = 𝜔𝜔⊕𝑃𝑃 =
𝜔𝜔⨁
𝑠𝑠
2𝜋𝜋 = 𝜔𝜔⨁2𝜋𝜋
𝑎𝑎3
𝜇𝜇
= 4,158 × 10−5𝑎𝑎 ⁄3 2
Coordenadas terrestres
 Para calcular la latitud, 𝜙𝜙, y longitud de la traza, λ, en 
función del tiempo en coordenadas terrestres
– Del movimiento de la Tierra bajo la órbita, la longitud geográfica en el 
punto subsatélite en el instante t es
– Del movimiento del SC
– Sustituyendo Δ𝜆𝜆𝑆𝑆𝑆𝑆 de (1) en (3)
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2 sin𝜙𝜙 = sin𝑢𝑢 sin 𝑖𝑖
3 tanΔ𝜆𝜆𝑆𝑆𝑆𝑆 = tan𝑢𝑢 cos 𝑖𝑖
1 𝜆𝜆 𝑡𝑡 = 𝜆𝜆 0 + Δ𝜆𝜆𝑆𝑆𝑆𝑆 − 𝜔𝜔⊕𝑡𝑡
= Ω − 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇0 + Δ𝜆𝜆𝑆𝑆𝑆𝑆 − 𝜔𝜔⨁𝑡𝑡
con𝜆𝜆 0 = 𝜆𝜆0 = Ω − 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇0: long. geográfica inicial
del nodo ascendente
Coordenadas terrestres
 El siguiente paso es expresar u en función del tiempo, 
o el tiempo en función de u
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sin𝜙𝜙 = sin𝑢𝑢 sin 𝑖𝑖 → 𝜙𝜙 = sin−1 sin 𝑖𝑖 sin𝑢𝑢
tan 𝜆𝜆 + 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇0 + 𝜔𝜔⨁𝑡𝑡 − Ω = tan𝑢𝑢 cos 𝑖𝑖 → 𝜆𝜆 = 𝜆𝜆0 − 𝜔𝜔⨁𝑡𝑡 + tan−1 cos 𝑖𝑖 tan𝑢𝑢
𝜙𝜙 = sin−1 sin 𝑖𝑖 sin𝑢𝑢
𝜆𝜆 = 𝜆𝜆0 − 𝜔𝜔⨁𝑡𝑡 + tan−1 cos 𝑖𝑖 tan𝑢𝑢
con 𝜆𝜆0 = Ω − 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑇𝑇0: long. geográfica inicial del nodo ascendente
Órbitas circulares
 Parámetro independiente: u es 
función lineal del tiempo. (h: 
altitud, R: radio terrestre)
 El ángulo de la traza con el 
ecuador en el nodo ascendente
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∆𝜆𝜆 = 𝜔𝜔⨁𝑃𝑃 =
𝜔𝜔⨁
𝜔𝜔𝑆𝑆𝑆𝑆
2𝜋𝜋
i=50º, 
130º
Órbitas elípticas
 Parámetro independiente: u es la suma del argumento 
del perigeo, ω, y de la anomalía verdadera, ν.
 La anomalía verdadera no tiene una expresión 
sencilla en función del tiempo y es más práctico usar 
ν como parámetro
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𝜙𝜙 = sin−1 sin 𝑖𝑖 sin 𝜔𝜔 + 𝜈𝜈
𝜆𝜆 = 𝜆𝜆0 − 𝜔𝜔𝐸𝐸𝑡𝑡 + tan−1 cos 𝑖𝑖 tan 𝜔𝜔 + 𝜈𝜈
Línea de 
nodos
ω
ν𝑡𝑡𝑝𝑝: tiempo desde la línea de nodos al perigeo
𝑡𝑡𝜈𝜈: tiempo desde el perigeo a la posición del SC
𝑡𝑡 = 𝑡𝑡𝑝𝑝 + 𝑡𝑡𝜈𝜈
Órbitas elípticas
 Cálculo de 𝑡𝑡𝑝𝑝
 Cálculo de 𝑡𝑡𝜈𝜈
 El efecto de la excentricidad 
sólo es apreciable para 𝑒𝑒 ↑, lo 
que implica 𝑎𝑎 ↑ para que 𝑟𝑟𝑝𝑝 =
𝑎𝑎 1 − 𝑒𝑒 > 𝑅𝑅𝐸𝐸. Por lo que 𝑃𝑃 ↑
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e=0.75
i=50º 
¿Cómo reconocer 
dónde está el perigeo y 
el apogeo de cada 
órbita?
Órbitas elípticas
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Ref. Wertz
COBERTURA
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Introducción
 Field of Regard (FOR): ángulodel 
cono potencial de visibilidad de un 
satélite o sensor; limitado por 
restricciones geométricas (límite del 
horizonte)
 Field of View (FOV): ángulo del 
cono de visibilidad de un sensor; 
limitado por restricciones físicas 
(lente, antena)
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Definiciones geométricas
 Relaciones angulares entre el SC, el objetivo y el 
centro de la Tierra
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Definiciones geométricas
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 Radio angular terrestre, ρ
 Angulo central terrestre, λ
 Ángulo de nadir, η
 Elevación, ε
 Slant range, D ηλ
ε
RE
H
ρ
Horizonte
Punto sub-satélite
Satélite
λ0
D
sin𝑠𝑠 = cos 𝜆𝜆0 =
𝑅𝑅𝐸𝐸
𝑅𝑅𝐸𝐸+𝐻𝐻
𝜆𝜆 + 𝜂𝜂 + 𝜀𝜀 = 𝜋𝜋
2
𝑅𝑅𝐸𝐸 + 𝐻𝐻 sin 𝜂𝜂 = 𝑅𝑅𝐸𝐸 sin 𝜂𝜂 + 𝜆𝜆 →
𝑅𝑅𝐸𝐸 + 𝐻𝐻
𝑅𝑅𝐸𝐸
sin 𝜂𝜂 =
sin 𝜂𝜂
sin𝑠𝑠
= sin 𝜂𝜂 + 𝜆𝜆 = sin
𝜋𝜋
2
− 𝜀𝜀 →
→
sin 𝜂𝜂
sin𝑠𝑠
= sin 𝜂𝜂 cos 𝜆𝜆 + cos 𝜂𝜂 sin 𝜆𝜆 → tan 𝜂𝜂 =
sin𝑠𝑠 sin 𝜆𝜆
1 − cos 𝜆𝜆 sin𝑠𝑠
sin 𝜂𝜂
sin𝑠𝑠
= sin
𝜋𝜋
2
− 𝜀𝜀 = cos 𝜀𝜀 →
sin 𝜂𝜂
sin𝑠𝑠
= cos 𝜀𝜀
Swath
 Swath: área en la superficie de la Tierra en torno a la 
traza que puede observar el SC a medida que avanza
 Anchura del swath (swath width): distancia 
angular, medida desde el centro de la Tierra, que 
abarca el swath perpendicularmente a la traza 
(también se mide en km)
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Swath width
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 Se debe asegurar la 
cobertura en el ecuador 
con un cierto solape
Cobertura de un instrumento
 Field of view, Footprint Area (FoV, 
FA): área que un instrumento o 
antena puede ver en un instante
 Área de acceso instantáneo (IAA): 
área que un instrumento o antena 
podría ver si escaneara en su rango 
nominal de orientaciones
 Velocidad de área de cobertura 
(Area coverage rate, ACR): 
velocidad a la que una antena o 
instrumente accede a nueva área
 Velocidad de área de acceso (Area
access rate, AAR): velocidad a la 
que nueva área entra dentro del área 
de acceso del satélite
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Áreas de acceso de instrumentos
 Las velocidades de área de acceso no son el ancho del 
swath multiplicado por la velocidad de la traza
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Cálculo de coberturas
 Ecuaciones analíticas aproximadas (SMAD)
 Simulación por ordenador (STK)
– Proporciona datos numéricos
– Útil para seleccionar la órbita adecuada para la misión
– Útil para dimensionar el FOV del sensor
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Factor de calidad de cobertura
 Porcentaje de cobertura: tiempo durante el que un punto de la Tierra es 
“visto” por uno o más satélites dividido por el tiempo total
– No da información sobre la distribución de la cobertura a lo largo del tiempo
 Máxima interrupción de la cobertura: el máximo intervalo de tiempo 
durante el cual no hay cobertura para un punto sobre la Tierra
– Da información sobre el peor caso
– Un único punto determina el resultado
 Interrupción de cobertura media: duración media de los tiempos sin 
cobertura para un punto dado
– Da información sobre los tiempos sin cobertura en un punto
 Tiempo de interrupción de cobertura en media temporal: tiempo medio sin 
cobertura en un punto dado 
 Tiempo medio de respuesta: tiempo medio desde que se realiza una solicitud 
de datos hasta que se recibe
– Tiene en cuenta las coberturas y los tiempos sin cobertura
– Se pueden incluir los tiempos de procesado y retrasos en las comunicaciones
– El mejor factor de calidad de los posibles
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Ejemplo de tiempo de cobertura
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Ejemplo de factores de calidad de la cobertura
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{ }
cob,
1
total
cob,1,...,
gap,
1
gap
2
gap,
1
total
Percent coverage , : nº de pases
Max. gap max , : nº de gaps
Time average gap
C
i
i
ii G
G
i
i
G
i
i
t
C
t
t G
t
t
G
t
t
=
=
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
Ejemplo de cobertura de FireSat con STK
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VISIBILIDAD DESDE UNA 
ESTACIÓN DE TIERRA
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Visibilidad
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s � c =
r � 𝐜𝐜 − 𝐫𝐫𝑔𝑔 � 𝒄𝒄
r2 + R2 − 2Rr cosψ
=
r � 𝐜𝐜 − 𝑅𝑅𝐸𝐸
r2 + R2 − 2Rr cosψ𝜺𝜺
 El satélite será visible desde una estación cuando su 
elevación, ε, sea mayor que la elevación límite de la 
estación, 𝜀𝜀𝑙𝑙 → 𝜀𝜀 = sin−1 s � c > 𝜀𝜀𝑙𝑙
Visibilidad
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Los parámetros orbitales deben ser instantáneos; perturbaciones orbitales
𝜺𝜺
sin 𝜺𝜺 = s � c =
r � 𝐜𝐜 − 𝐫𝐫𝑔𝑔 � 𝒄𝒄
r2 + R2 − 2Rr cosψ
=
r � 𝐜𝐜 − 𝑅𝑅𝐸𝐸
r2 + R2 − 2Rr cosψ
Visibilidad
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𝜆𝜆
Visibilidad: órbitas circulares
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sin𝑠𝑠 =
𝑅𝑅𝐸𝐸
𝑅𝑅𝐸𝐸 + ℎ
sin 𝜂𝜂
sin𝑠𝑠
= cos 𝜀𝜀
𝜆𝜆 + 𝜂𝜂 + 𝜀𝜀 =
𝜋𝜋
2
→ 𝜂𝜂 =
𝜋𝜋
2
− 𝜆𝜆 − 𝜀𝜀 →
sin 𝜂𝜂 = sin
𝜋𝜋
2
− 𝜆𝜆 − 𝜀𝜀 = cos 𝜆𝜆 + 𝜀𝜀 → 𝜆𝜆 = cos−1 sin 𝜂𝜂 − 𝜀𝜀
→ 𝜆𝜆 = cos−1 cos 𝜀𝜀 sin𝑠𝑠 − 𝜀𝜀
𝜆𝜆
Círculo de visibilidad
Pases sobre una estación de tierra
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 Estimación de parámetros característicos 
(instantáneos)
Selección de estaciones de tierra
 Es posible que sea necesario seleccionar más de una 
estación de tierra para 
– Tener accesos con suficiente periodicidad 
– Tener tiempo suficiente de acceso
 El análisis de accesos, al igual que el de coberturas, 
se puede hacer
– Analíticamente de forma aproximada
– Con simulaciones numéricas (STK)
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Bibliografía
marzo de 2014Ana Laverón Simavilla
51
1. Elements of Spacecraft Design, C. D. Brown, 2002
2. Space mission analysis and design, J.R. Wertz & 
W.J. Larson
3. SMAD
	Geometría de misiones EO
	Índice
	Introducción
	Geometría en la esfera celeste
	Sistemas de referencia
	Sistemas de referencia
	La esfera celeste
	La esfera celeste
	La esfera celeste
	Iluminación
	Análisis de eclipses para LEO
	Análisis de eclipses para LEO
	Análisis de eclipses para LEO
	Análisis de eclipses para LEO
	Análisis de eclipses para LEO
	Análisis de eclipses para LEO
	Aproximación sombra elíptica (órb. circul)
	Geometría del ángulo solar respecto a una cara del SC
	Trazas
	Definiciones
	Desfase de nodos ascendentes consecutivos
	Desfase de nodos ascendentes consecutivos
	Coordenadas terrestres
	Coordenadas terrestres
	Órbitas circulares
	Órbitas elípticas
	Órbitas elípticas
	Órbitas elípticas
	Cobertura
	Introducción
	Definiciones geométricas
	Definiciones geométricas
	Swath
	Swath width
	Cobertura de un instrumento
	Áreas de acceso de instrumentos
	Cálculo de coberturas
	Factor de calidad de cobertura
	Ejemplo de tiempo de cobertura
	Ejemplo de factores de calidad de la cobertura
	Ejemplo de cobertura de FireSat con STK
	Visibilidad desde una estación de tierra
	Visibilidad
	Visibilidad
	Visibilidad
	Visibilidad: órbitas circulares
	Pases sobre una estación de tierra
	Selección de estaciones de tierra
	Bibliografía