CTA_VA5_EO_SpaceMissionAnalisys_v3

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Geometría de misiones EO
12 may. 2015A. Laverón, J. Rodríguez
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Índice
 Geometría en la esfera celeste
 Iluminación
 Trazas
 Cobertura
 Visibilidad desde una estación de tierra
 Bibliografía
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GEOMETRÍA EN LA ESFERA 
CELESTE
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Sistemas de referencia
 En casi todas las misiones es necesario conocer la 
posición y movimiento de los objetos (planetas, Sol, 
Tierra…) en relación con el satélite
 La elección de un sistema de referencia adecuado 
facilita la resolución de los problemas
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Sistemas de referencia
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Nombre Ligado a Centro Eje z Eje x Aplicación
Heliocéntrico Espacio 
inercial
Sol Polo eclíptica  Órbitas planetarias, 
efemérides
Geocéntrico 
inercial
Espacio 
inercial
Tierra Polo celeste  Calculo orbital
Fijo a Tierra Tierra Tierra Polo celeste Meridiano 
Greenwich
Movimiento relativo 
del SC, cobertura, 
visibilidad
Celeste 
inercial
Espacio 
inercial
SC Polo celeste  Observación 
astronómica
LVLH Órbita SC Nadir Contenido en el 
plano orbital
Observación de la 
Tierra, maniobras de 
actitud
Fijo al SC SC SC Dirección del 
SC apuntando a 
nadir
Dirección del SC 
en la dirección de 
la velocidad
Apuntamiento de 
instrumentos
La esfera celeste
 Una vez seleccionado el sistema de referencia, para 
identificar una dirección en él es muy útil emplear la 
esfera celeste: esfera imaginaria centrada en el origen 
del sistema de referencia y de radio unidad
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Ref. SMAD
La esfera celeste
 Un punto en la esfera celeste 
representa una dirección (S: del 
Sol)
 La dirección opuesta se 
denomina antípoda, o antipunto
y se denota con un superíndice 
“-1” (S-1: opuesta al Sol)
 Nadir: dirección al centro de la 
Tierra
 Zénit: dirección opuesta a nadir
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Ref. SMAD
La esfera celeste
 , , : longitud de arco en 
una circunferencia máxima → 
lados del triángulo esférico
 Φ, Σ, Λ: ángulos diédricos o 
de rotación → ángulos del 
triángulo esférico
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Ref. SMAD
ILUMINACIÓN
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Análisis de eclipses para LEO
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Ref. SMAD
 𝐻 = 1000 𝑘𝑚 (circular)
 𝑖 = 32°
Análisis de eclipses para LEO
 Disco terrestre
– 𝑖 = 32°
– Desde esta órbita la Tierra se ve 
como un disco de cubre un 
semiángulo de 
 El plano de la eclíptica forma 
un ángulo de ~23,5° con el 
ecuador
 El ángulo entre la eclíptica y el 
plano orbital de la tierra 
depende de Ω → la duración 
del eclipse depende de Ω
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𝑠𝑖𝑛𝜌 =
𝑅𝐸
𝑅𝐸 + 𝐻
→ 𝜌 = 59,8°~60°
Ref. SMAD
Análisis de eclipses para LEO
 En el caso en que la órbita terrestre formara el 
máximo ángulo con la eclíptica (Ω = 180°) → no 
hay órbitas sin eclipse
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Polo celeste
Ecuador
32,0°
Órbita terrestre
23,5º
Eclíptica
60º
60º
32,0°
Polo de la 
órbita
Ref. SMAD
Análisis de eclipses para LEO
 Este sistema de 
referencia no permite 
calcular la duración 
del eclipse, para ello 
es más conveniente 
un sistema de 
referencia ligado a la 
órbita
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Ref. SMAD
𝛽𝑆 = 32° ± 23,5° → 𝛽𝑆,max = 55,5°
→ 𝛽´𝑆,min = 34,5°
Análisis de eclipses para LEO
 Cálculo de la duración 
del eclipse en función 
del ángulo del Sol con 
el plano orbital, 𝛽𝑆, y 
del periodo orbital, P
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Ref. SMAD
cos𝜌 = cos𝛽𝑆cos
Φ
2
+ sin𝛽𝑆sin
Φ
2
cos90°
Φ
2
Análisis de eclipses para LEO
 ¿Cómo será la figura que delimita la zona de eclipse 
para una órbita elíptica? 
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Ref. SMAD
Aproximación sombra elíptica (órb. circul.)
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TRAZAS
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Definiciones
 Traza: línea que dibuja sobre la superficie terrestre el 
punto subsatélite
 Punto subsatélite: intersección de la línea centro de la 
Tierra – SC con la superficie terrestre
 La traza sería la circunferencia intersección del plano 
orbital y la esfera terrestre si no fuera por el giro de la 
Tierra, éste hace que la traza sea una espiral
 En una proyección plana
– La traza sería una sinusoide cerrada con amplitud igual a la 
inclinación de la órbita para órbitas directas, 𝜋 − 𝑖 para 
retrógradas
– El giro de la Tierra modifica la forma de la sinusoide pero no su 
amplitud
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Desfase de nodos ascendentes consecutivos
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𝑇𝐴 = 2.67 h
𝑇𝐵 = 8 h
𝑇𝐶 = 18 h
𝑇𝐷 = 24 h
𝑇𝐸 = 24 h
Subsíncronas
Síncronas
Desfase de nodos ascendentes consecutivos
 Despreciando los efectos perturbadores, el desfase en 
longitud entre dos nodos ascendentes consecutivos es
n: movimiento medio
𝜆: en grados
𝑎: en km
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∆𝜆 = 𝜔⊕𝑃 =
𝜔⨁
𝑛
2𝜋 = 𝜔⨁2𝜋
𝑎3
𝜇
= 4,158 × 10−5𝑎 3 2
Coordenadas terrestres
 Para calcular la latitud, 𝜙, y longitud de la traza, λ, en 
función del tiempo en coordenadas terrestres
– Del movimiento de la Tierra bajo la órbita, la longitud geográfica en el 
punto subsatélite en el instante t es
– Del movimiento del SC
– Sustituyendo Δ𝜆𝑆𝐶 de (1) en (3)
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2 sin𝜙 = sin 𝑢 sin 𝑖
3 tanΔ𝜆𝑆𝐶 = tan𝑢 cos 𝑖
1 𝜆 𝑡 = 𝜆 0 + Δ𝜆𝑆𝐶 − 𝜔⊕𝑡
= Ω − 𝐺𝑆𝑇0 + Δ𝜆𝑆𝐶 −𝜔⨁𝑡
Con 𝜆 0 = 𝜆0 = Ω − 𝐺𝑆𝑇0: long. geográfica inicial
del nodo ascendente
Coordenadas terrestres
 El siguiente paso es expresar u en función del tiempo, 
o el tiempo en función de u
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sin𝜙 = sin 𝑢 sin 𝑖 → 𝜙 = sin−1 sin 𝑖 sin 𝑢
tan 𝜆 + 𝐺𝑆𝑇0 + 𝜔⨁𝑡 − Ω = tan𝑢 cos 𝑖 → 𝜆 = 𝜆0 − 𝜔⨁𝑡 + tan
−1 cos 𝑖 tan 𝑢
𝜙 = sin−1 sin 𝑖 sin 𝑢
𝜆 = 𝜆0 − 𝜔⨁𝑡 + tan
−1 cos 𝑖 tan 𝑢
con 𝜆0 = Ω − 𝐺𝑆𝑇0: long. geográfica inicial del nodo ascendente
Órbitas circulares
 Parámetro independiente: u es función 
lineal del tiempo. (h: altitud, R: radio 
terrestre)
 Separación en el ecuador entre dos pasos 
consecutivos
 Ángulo de la traza con el ecuador en el 
nodo ascendente

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∆𝜆 = 𝜔⨁𝑃 =
𝜔⨁
𝜔𝑆𝐶
2𝜋
i=50º, 
130º
Órbitas elípticas
 Parámetro independiente: u es la suma del argumento 
del perigeo, ω, y de la anomalía verdadera, ν.
 La anomalía verdadera no tiene una expresión 
sencilla en función del tiempo y es más práctico usar 
ν como parámetro
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𝜙 = sin−1 sin 𝑖 sin 𝜔 + 𝜈
𝜆 = 𝜆0 − 𝜔𝐸𝑡 + tan
−1 cos 𝑖 tan 𝜔 + 𝜈
Línea de 
nodos
w
n
𝑡𝑝: tiempo desde la línea de nodos al perigeo
𝑡𝜈: tiempo desde el perigeo a la posición del SC
𝑡 = 𝑡𝑝 + 𝑡𝜈
Órbitas elípticas
 Cálculo de 𝑡𝑝
 Cálculo de 𝑡𝜈
 El efecto de la excentricidad 
sólo es apreciable para 𝑒 ↑, lo 
que implica 𝑎 ↑ para que 𝑟𝑝 =
𝑎 1 − 𝑒 > 𝑅𝐸. Por lo que 𝑃 ↑
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e=0.75
i=50º 
Órbitas elípticas
 Cálculo de 𝑡𝑝
 Cálculo de 𝑡𝜈
 El efecto de la excentricidad 
sólo es apreciable para 𝑒 ↑, lo 
que implica 𝑎 ↑ para que 𝑟𝑝 =
𝑎 1 − 𝑒 > 𝑅𝐸. Por lo que 𝑃 ↑
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e=0.75
i=50º 
¿Cómo reconocer 
dónde está el perigeo y 
el apogeo de cada 
órbita?
Órbitas elípticas
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Ref. Wertz
COBERTURA
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Introducción
 Field of Regard (FOR): ángulo del 
cono potencial de visibilidad de un 
satélite o sensor; limitado por 
restricciones geométricas (límite del 
horizonte)
 Field of View (FOV): ángulo del 
cono de visibilidad de un sensor; 
limitado por restricciones físicas 
(lente, antena)
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Definiciones geométricas
 Relaciones angulares entre el SC, el objetivo y el 
centro de la Tierra
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Definiciones geométricas
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 Radio angular terrestre, ρ
 Angulo central terrestre, λ
 Ángulo de nadir, η
 Elevación, ε
 Slant range, D l
e
RE
H
r
Horizonte
Punto sub-satélite
Satélite
l0
D
sin 𝜌 = cos 𝜆0 =
𝑅𝐸
𝑅𝐸+𝐻
𝜆 + 𝜂 + 𝜀 =
𝜋
2
𝑅𝐸 + 𝐻 sin 𝜂 = 𝑅𝐸 sin 𝜂 + 𝜆 →
𝑅𝐸 + 𝐻
𝑅𝐸
sin 𝜂 =
sin 𝜂
sin 𝜌
= sin 𝜂 + 𝜆 = sin
𝜋
2
− 𝜀 →
→
sin 𝜂
sin 𝜌
= sin 𝜂 cos 𝜆 + cos 𝜂 sin 𝜆 → tan 𝜂 =
sin 𝜌 sin 𝜆
1 − cos 𝜆 sin 𝜌
sin 𝜂
sin 𝜌
= sin
𝜋
2
− 𝜀 = cos 𝜀 →
sin 𝜂
sin 𝜌
= cos 𝜀
Swath
 Swath: área en la superficie de la Tierra en torno a la 
traza que puede observar el SC a medida que avanza
 Anchura del swath (swath width): distancia 
angular, medida desde el centro de la Tierra, que 
abarca el swath perpendicularmente a la traza 
(también se mide en km)
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Swath width
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 Se debe asegurar la 
cobertura en el ecuador 
con un cierto solape
Cobertura de un instrumento
 Field of view, Footprint Area (FoV, 
FA): área que un instrumento o 
antena puede ver en un instante
 Área de acceso instantáneo (IAA): 
área que un instrumento o antena 
podría ver si escaneara en su rango 
nominal de orientaciones
 Velocidad de área de cobertura 
(Area coverage rate, ACR): 
velocidad a la que una antena o 
instrumente accede a nueva área
 Velocidad de área de acceso (Area
access rate, AAR): velocidad a la 
que nueva área entra dentro del área 
de acceso del satélite
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Áreas de acceso de instrumentos
 Las velocidades de área de acceso no son el ancho del 
swath multiplicado por la velocidad de la traza
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Cálculo de coberturas
 Ecuaciones analíticas aproximadas (SMAD)
 Simulación por ordenador (STK)
– Proporciona datos numéricos
– Útil para seleccionar la órbita adecuada para la misión
– Útil para dimensionar el FOV del sensor
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Factor de calidad de cobertura
 Porcentaje de cobertura: tiempo durante el que un punto de la Tierra es 
“visto” por uno o más satélites dividido por el tiempo total
– No da información sobre la distribución de la cobertura a lo largo del tiempo
 Máxima interrupción de la cobertura: el máximo intervalo de tiempo 
durante el cual no hay cobertura para un punto sobre la Tierra
– Da información sobre el peor caso
– Un único punto determina el resultado
 Interrupción de cobertura media: duración media de los tiempos sin 
cobertura para un punto dado
– Da información sobre los tiempos sin cobertura en un punto
 Tiempo de interrupción de cobertura en media temporal: tiempo medio sin 
cobertura en un punto dado 
 Tiempo medio de respuesta: tiempo medio desde que se realiza una solicitud 
de datos hasta que se recibe
– Tiene en cuenta las coberturas y los tiempos sin cobertura
– Se pueden incluir los tiempos de procesado y retrasos en las comunicaciones
– El mejor factor de calidad de los posibles
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Ejemplo de tiempo de cobertura
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Ejemplo de factores de calidad de la cobertura
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 
cob,
1
total
cob,
1,...,
gap,
1
gap
2
gap,
1
total
Percent coverage , : nº de pases
Max. gap max , : nº de gaps
Time average gap
C
i
i
i
i G
G
i
i
G
i
i
t
C
t
t G
t
t
G
t
t











Ejemplo de cobertura de FireSat con STK
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VISIBILIDAD DESDE UNA 
ESTACIÓN DE TIERRA
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Visibilidad
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s ∙ c =
r ∙ 𝐜 − 𝐫𝑔 ∙ 𝒄
r2 + R2 − 2Rr cosψ
=
r ∙ 𝐜 − 𝑅𝐸
r2 + R2 − 2Rr cosψ𝜺
 El satélite será visible desde una estación cuando su 
elevación, ε, sea mayor que la elevación límite de la 
estación, 𝜀𝑙 → 𝜀 = sin
−1 s ∙ c > 𝜀𝑙
Visibilidad
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Los parámetros orbitales deben ser instantáneos; perturbaciones orbitales
𝜺
sin 𝜺 = s ∙ c =
r ∙ 𝐜 − 𝐫𝑔 ∙ 𝒄
r2 + R2 − 2Rr cosψ
=
r ∙ 𝐜 − 𝑅𝐸
r2 + R2 − 2Rr cosψ
Visibilidad
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𝜆
Visibilidad: órbitas circulares
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sin 𝜌 =
𝑅𝐸
𝑅𝐸 + ℎ
sin 𝜂
sin 𝜌
= cos 𝜀
𝜆 + 𝜂 + 𝜀 =
𝜋
2
→ 𝜂 =
𝜋
2
− 𝜆 − 𝜀 →
sin 𝜂 = sin
𝜋
2
− 𝜆 − 𝜀 = cos 𝜆 + 𝜀 → 𝜆 = cos−1 sin 𝜂 − 𝜀
→ 𝜆 = cos−1 cos 𝜀 sin 𝜌 − 𝜀
𝜆
Círculo de visibilidad
Pases sobre una estación de tierra
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 Estimación de parámetros característicos 
(instantáneos)
Selección de estaciones de tierra
 Es posible que sea necesario seleccionar más de una 
estación de tierra para 
– Tener accesos con suficiente periodicidad 
– Tener tiempo suficiente de acceso
 El análisis de accesos, al igual que el de coberturas, 
se puede hacer
– Analíticamente de forma aproximada
– Con simulaciones numéricas (STK)
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Bibliografía
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1. Elements of Spacecraft Design, C. D. Brown, 2002
2. Space mission analysis and design, J.R. Wertz & 
W.J. Larson
3. SMAD