Capítulo 1

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Capítulo 1. Funciones de varias variables
1.1. Funciones de dos (o más) variables utilizadas en economía y negocios. 
Dominio. Recorrido
1.2. Representación geométrica (curvas de nivel dos variables).
1.3. Derivadas parciales de primer y de segundo orden. Relación con planos 
tangentes. Teorema de Young.
1.4. Derivadas parciales en economía.
Capítulo 1. Introducción
Una gran cantidad de problemas en economía y negocios requiere funciones de
más de una variable
Ejemplos:
• La demanda por Coca Cola suele depender no solo del precio de la Coca Cola,
sino también del precio de otras bebidas similares
• La producción de una empresa depende no solo de la cantidad de trabajadores
empleados, sino también del capital físico disponible
1.1. Funciones de dos o + variables
Definición
Una función bivariada o
de dos variables, es una
regla que asigna a cada
par de valores ,
un número real único
Función de Utilidad Esperada: Media – Varianza
Nivel de utilidad “esperada” como función del retorno esperado y de la varianza
de los retornos de una inversión: Varianza
1.1. Ejemplos: Funciones de dos o + variables utilizadas en economía y negocios
Función de Utilidad
Nivel de utilidad alcanzado al consumir una cierta combinación de bienes y
servicios:
Función de Demanda
Nos dicen la cantidad demandada como función del precio del bien o servicio y
del ingreso:
1.1. Dominio
 D: Dominio de f: Representa a todos los puntos ( vectores) a los cuales la
función “f” le asigna valor en
 Gráficamente es una superficie en el espacio
La generalización de la función bivariada es la función multivariada (n
variables) donde:
 ; Si D es conocido
Vector

 Se lee: “f es una función de n-variables con dominio D”
Capítulo 1. Ejemplo--Dominio
1.1. Recorrido
 El Rango/Imagen/Recorrido de la función es el conjunto de todos los valores
que f puede tomar.

 Si bien estamos hablando de (x,y) como los dos argumentos de la función, podemos
genéricamente hablar de x como un vector ( ) en n dimensiones.
 Se lee: “El Rango o Recorrido, es el conjunto de todos números reales z
tales que para algún x perteneciente al dominio D”
 Cuando sabemos de antemano que el rango de una función no son todos los
números reales, pero sí son un subconjunto , podemos escribir:
1.1 Ejemplos
a 4
b -3
c 0
1.1. Ejemplos Cortos
¿Cuál es el Dominio y Recorrido de las siguientes funciones?


 Suponga que representa la cantidad producida por una empresa
cuando usa unidades de trabajo y unidades de capital
1.2 Gráficos y Curvas de Nivel 
 Mapa de Calor: Asigna diferentes colores en el plano dependiendo del
valor de la función f.
 Curvas de Nivel: Asigna diferentes valores en el plano a las líneas
formadas por la intersección de con el plano paralelo a dependiendo
de la altura o valor “c”
Definición
La “Curva de nivel c” de una función bivariada son todos los pares 
que satisfacen la ecuación 
1.2 Gráficos y Curvas de Nivel: Ejemplo 
• Si , las curvas de nivel son funciones parabólicas de dos mantos, que se
producen por la intersección de planos por debajo de
• Si , las curvas de nivel corresponden a rectas bisectrices de los
cuadrantes
• Si , las curvas de nivel son funciones parabólicas de dos mantos, que se
producen por la intersección de planos por sobre
Las curvas de nivel se proyectan al plano 
Cobb-Douglas (ISOCUANTAS)
Una función muy utilizada en economía y que citaremos frecuentemente es la
función de producción de Cobb-Douglas:
En 1928 Charles Cobb y Paul Douglas publicaron un estudio en el cual
modelaban el crecimiento de la economía estadounidense durante el período
1899-1922.
Consideraron un punto de vista simplificado de la economía en el cual la
producción está determinada por la cantidad de mano de obra relacionada y la
cantidad de capital invertido. Si bien hay muchos otros factores que afectan el
rendimiento económico, su modelo resultó ser notablemente exacto. La función
mediante la cual modelaron la producción era de la forma
1.2 Gráficos y Curvas de Nivel: Ejemplo 
Q
 Q:Producción total (valor monetario de todos los bienes que se producen en un año)
 L: # de mano de obra (la cantidad total de horas-hombre trabajadas en un año)
 K: # de capital invertido (el valor monetario de toda la maquinaria, equipo y
edificios)
 Base 1899 (=100)
Año Q L K
1899 100 100 100 101,0
1900 101 105 107 106,6
1901 112 110 114 112,1
1902 122 117 122 119,4
1903 124 122 131 125,4
1904 122 121 138 126,3
1905 143 125 149 131,9
1906 152 134 163 142,1
1907 151 140 176 149,7
1908 126 123 185 137,6
1909 155 143 198 156,7
1910 159 147 208 161,9
1911 153 148 216 164,3
1912 177 155 226 172,0
1913 184 156 236 174,7
1914 169 152 244 172,8
1915 189 156 266 180,0
1916 225 183 298 208,8
1917 227 198 335 228,1
1918 223 201 366 235,8
1919 218 196 387 234,7
1920 231 194 407 235,8
1921 179 146 417 191,7
1922 240 161 431 208,0
𝑄
La gráfica nos muestra que Q se incrementa cuando L y K se incrementan
1.2 Gráficos y Curvas de Nivel: Ejemplo de un caso Cobb-Douglas 
Ejemplo Cobb Douglas
Asumiendo la función de Cobb Douglas: Q
 Encuentre la expresión que describe la relación entre K y L para una cantidad
de producción específica
 ¿Cómo es la relación entre K y L en esa función?
• Para una ISOCUANTA, Q es fijo
• A través de una ISOCUANTA, cuando K
disminuye, L aumenta
• Cuando L y K aumentan, entonces la
ISOCUANTA se desplaza paralelamente (salgo
de una y voy a la siguiente)
• Las ISOCUANTAS no se intersectan 0
50
100
150
200
250
300
0 50 100 150 200 250 300
Curvas de Nivel 
ISOCUANTAS
En cada curva se mantiene
el mismo valor 
1.2 Gráficos y Curvas de Nivel: Ejemplo 
La función de utilidad de un agente al consumir una cantidad ” de manzanas y
una cantidad de peras, esta dada por:
Las gráficas de la función utilidad y de las curvas de nivel están dadas por:
1.2 Ejemplo: Curva de Nivel y el problema del Consumidor 
Este agente tiene una renta de 20 pesos que debe decidir como gastar entre peras y
manzanas. El precio de la pera es $2 y de la manzana es $1.
1.- Escriba la función que representa el gasto total del agente como función de
la cantidad consumida de cada bien.
2.- Dibuje la curva de nivel 20 de la función
3.- Usando las curvas de nivel de y la curva de nivel 20 de , represente
en el plano la cantidad consumida de c/bien que maximiza la utilidad del agente.
4.- Ahora el precio de la manzana sube de 1 a 4. ¿Qué pasa con la cantidad consumida
de peras? Represente en un gráfico como en el ítem anterior, se afecta la cantidad
óptima consumida de cada bien antes y después del cambio en el precio de la manzana.
1.2 Tarea: Curva de Nivel y el problema del Consumidor 
Definición
Si , sus derivadas parciales (denotadas como ) están definidas
por:
1.3 Derivadas Parciales de Primer Orden
• Para obtener , tratar a “y” como “constante”, luego derivar f (x, y) con 
respecto a x.
• Para obtener , tratar a “x” como “constante”, luego derivar f (x, y) con 
respecto a y.
Para un punto , la derivadas parciales aproximan los siguientes
cambios discretos de
1.3 Derivadas Parciales; Aproximación de cambios discretos
La derivada parcial es la pendiente 
de la línea tangente a la curva dada por la 
1.- De la función con 
2.- El plano paralelo a que pasa por el 
punto , que tiene a fijo
1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales de Primer Orden(Interpretación geométrica)
La derivada parcial es la pendiente 
de la línea tangente a la curva dada por la 
1.- De la función con 
2.- El plano paralelo a Y que pasa por el 
punto , que tiene a fijo
Ejemplo: Derivadas Parciales de Primer Orden(Silla de Montar)
-5
,0 -4
,5 -4
,0 -3
,5 -3
,0 -2
,5 -2
,0 -1
,5 -1
,0 -0
,5 0,
0 0,
5 1,
0 1,
5 2,
0 2,
5 3,
0 3,
5 4,
0 4,
5 5,
0
-25.0
-20.0
-15.0
-10.0
-5.0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
-5
.0
-4
.0
-3
.0
-2
.0
-1
.0
0.
0
1.
0
2.
0
3.
0
4.
0
5.
0
X
Z
Y
𝟐 𝟐

(parábola cóncava)
 y
=
Si f es una función de dos variables,entonces sus derivadas parciales son también
funciones de dos variables, de modo que a su vez podemos considerar sus derivadas parciales:
que se llaman segundas derivadas parciales de f.

 (Primero se deriva respecto a “x”, en
segundo lugar respecto a y)
 (Primero se deriva respecto a “y”, en
segundo lugar respecto a x)

1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales de Segundo Orden
Ejemplo: Derivadas Parciales de Segundo Orden(Silla de Montar)
-5
,0 -4
,5 -4
,0 -3
,5 -3
,0 -2
,5 -2
,0 -1
,5 -1
,0 -0
,5 0,
0 0,
5 1,
0 1,
5 2,
0 2,
5 3,
0 3,
5 4,
0 4,
5 5,
0
-25.0
-20.0
-15.0
-10.0
-5.0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
-5
.0
-4
.0
-3
.0
-2
.0
-1
.0
0.
0
1.
0
2.
0
3.
0
4.
0
5.
0
X
Z
Y
𝟐 𝟐
 y





Si “w” es una función de tres variables, sus derivadas parciales
están definidas de la siguiente manera:
1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales de Primer Orden(Generalización)
De manera más general, si “w” es función de “n variables”
 Las derivadas parciales de orden superior pueden ser de orden mayor o igual a 2
1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales de Orden Superior
 Para una función , las funciones, , son las derivadas 
parciales de primer orden
 Notar que en general las funciones , son funciones de , por lo 
que también podemos obtener sus derivadas (si es que existen)
 ( de orden 2) ; ( de orden 2 cruzada)
 ( de orden 3) ; ( de orden 3 cruzada)
1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales de Segundo Orden
Teorema de Young
Las condiciones de existencia y de continuidad de la derivadas parciales
cruzadas son suficientes para afirmar la igualdad de ellas
Sea con dominio D abierto, tal que existen las derivadas 
cruzadas de segundo orden y son continuas
Entonces para cualquier punto , se cumple que:
Para el caso bivariado:
1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales y MATRIZ HESSIANA
- La matriz Hessiana es simétrica (teorema de Clairaut)
- La gran utilidad de la matriz Hessiana, es que nos permitirá determinar el 
carácter de los puntos críticos de las funciones
Si con dominio D abierto, tal que existen las derivadas de 
segundo orden y son continuas. Se define la matriz Hessiana de f a:
1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales –PLANO TANGENTE
Caso dos variables
En la medida que nos acercamos a un 
punto sobre la superficie de una función 
derivable de dos variables
la superficie se parece más y más a un 
plano, su plano tangente, así entonces es 
posible aproximarse a la función mediante 
una función lineal de dos variables.
Caso una variable:
En la medida que nos acercamos a un punto
de la gráfica de una función derivable:
la gráfica se vuelve indistinguible desde su
línea tangente y puede aproximarse a la
función mediante una función lineal.
)
𝒙 𝒚
1.3 Capítulo 1. Derivadas Parciales –PLANO TANGENTE

Ejemplo
La ecuación del plano tangente al paraboloide en el punto (1,1,3), esta dado
por:

Ya que:
Por lo tanto:
PLANO TANGENTE: Aproximación Lineal a la función z
Ecuación plano tangente de una función en el punto (a, b, f (a, b)) es:
A la función lineal cuya gráfica es este plano tangente:
Se le llama 
Se llama aproximación lineal o aproximación del plano tangente de f en (a, b).
PLANO TANGENTE: Aproximación Lineal a la función z
El plano tangente a una superficie en un punto P es el plano que más 
se aproxima a dicha función cerca del punto P.
Para el ejemplo precedente, vimos que el plano tangente en el punto P(1,1,3) a la 
superficie definida por la función , esta dado por la función lineal
Esta función Lineal de dos variables es una buena aproximación a:
, cuando f
Punto (1.1,0.95) cercano al punto (1,1)
Buena aproximación
Punto (2,3) lejano al punto (1,1)
Mala aproximación
Ejemplo CD ISOCUANTAS
Consideremos la función de Cobb Douglas (CD):
Donde: K= Capital Invertido; L= Cantidad de Trabajo
1.4. Derivadas Parciales en Economía: EJEMPLO
 Productividad Marginal del Capital:
𝑲
; Es la tasa de variación
de la Producción Q respecto al Capital K, cuando L permanece constante
 Productividad Marginal del Trabajo:
1.4. Derivadas Parciales en Economía: EJEMPLOS

Esta función CD nos introduce a un primer Principio básico de la economía:
 Rendimientos Marginales Positivos y Decrecientes, tanto para el Capital
(K) como para el Trabajo (L)
¿Qué condición deben cumplir los parámetros para que se cumpla este 
primer supuesto básico?

 > 0 
• Un pequeño incremento en el capital
invertido, redunda en una disminución de la
productividad marginal del capital
• Lo mismo para el trabajo
FIN DEL MATERIAL PARA CONTROL 1
Preguntas de Mail
Q: Qué variable se despeja en una curva de nivel?
A: Por ejemplo, si tengo una función
, 
y quiero la curva de nivel k, se puede expresar (por convención) despejando la
letra más grande en función de las otras:
Pero es igualmente válido expresar la curva de nivel k como .
De hecho, para una función ), la curva de nivel
k es correctamente expresada como:
Que en sí no es una función, sino una correspondencia.